If C(12,r) = C(12,r+2), what is the value of r?यदि C(12,r) = C(12,r+2), तो r का मान क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 55
The governing concept is the symmetry of binomial coefficients: C(n,k) = C(n,n-k). In the equation C(12,r) = C(12,r+2), the lower indices r and r+2 are different, so equality occurs when they are complementary with respect to 12. Therefore, r + (r + 2) = 12. Simplifying gives 2r + 2 = 12, then 2r = 10 and r = 5. A direct verification confirms the result: C(12,5) = C(12,7), so both sides are equal. Hence option A is correct. Equating r with r+2 would be impossible, while r = 4, 6, or 7 does not make the two lower indices complementary. The obtained value also lies in the valid range for binomial coefficients.इस प्रश्न में द्विपद गुणांकों की सममिति का नियम लागू होता है: C(n,k) = C(n,n-k)। समीकरण C(12,r) = C(12,r+2) में निचले सूचकांक r और r+2 अलग हैं, इसलिए समानता तभी होगी जब ये 12 के सापेक्ष पूरक हों। अतः r + (r + 2) = 12 लिख सकते हैं। इसे सरल करने पर 2r + 2 = 12, इसलिए 2r = 10 और r = 5 मिलता है। जाँच के लिए C(12,5) = C(12,7), अतः दोनों पक्ष वास्तव में बराबर हैं। इसलिए विकल्प A सही है। r को r+2 के बराबर रखना असंभव है, जबकि 4, 6 या 7 रखने पर दोनों निचले सूचकांकों का योग 12 नहीं होगा। प्राप्त r संयोजन के वैध क्षेत्र में भी है।
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