From (14) objects, (7) are chosen with exactly (3) objects from a fixed group of (5). How many selections are possible?(14) वस्तुओं में से (7) चुननी हैं, जिनमें एक निश्चित (5) वस्तुओं के समूह से ठीक (3) वस्तुएँ हों। कुल चयन कितने हैं?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (1260)(1260)
Direct answer: Option A, 1,260 selections. The fixed group contains 5 objects, while the remaining outside group contains \(14-5=9\) objects. Exactly 3 objects must come from the fixed group, so choose them in \(\binom{5}{3}=10\) ways. Seven objects are chosen in all, leaving \(7-3=4\) objects to be selected from the 9 outside objects; this gives \(\binom{9}{4}=126\) ways. The multiplication rule gives \(10\times126=1260\). Option A matches. Option B, 1080, option C, 1170, and option D, 1350 do not equal this product, so they count an incorrect number of selections. “Exactly 3” excludes choices containing 0, 1, 2, 4, or 5 objects from the fixed group. The important method is to separate the required group and its complement before applying combinations.सीधा उत्तर: विकल्प A, 1,260 चयन। निश्चित समूह में 5 वस्तुएँ हैं और उसके बाहर की वस्तुओं की संख्या \(14-5=9\) है। निश्चित समूह से ठीक 3 वस्तुएँ चुननी हैं, इसलिए उनके तरीके \(\binom{5}{3}=10\) हैं। कुल 7 वस्तुएँ चुननी हैं, अतः बाकी \(7-3=4\) वस्तुएँ बाहर की 9 वस्तुओं में से चुनेंगे; इसके तरीके \(\binom{9}{4}=126\) हैं। गुणन नियम से कुल \(10\times126=1260\) चयन होंगे। विकल्प A इसी संख्या से मेल खाता है। विकल्प B, 1080, विकल्प C, 1170 और विकल्प D, 1350 सही गुणनफल नहीं हैं, इसलिए गलत हैं। “ठीक 3” का अर्थ है कि निश्चित समूह से 0, 1, 2, 4 या 5 वस्तुओं वाले चयन नहीं लिए जाएँगे। मुख्य तरीका है कि पहले आवश्यक समूह और उसके बाहर के समूह को अलग करें, फिर दोनों संयोजनों को गुणा करें।
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