From (11) teachers and (13) students a group of (7) people is to be formed with at least (4) teachers. How many ways are there?(11) शिक्षकों और (13) छात्रों में से (7) लोगों का समूह बनाना है जिसमें कम से कम (4) शिक्षक हों। कितने तरीके हैं?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 136752136752
The group can contain 4, 5, 6, or 7 teachers. Therefore, the total number of ways is \(\binom{11}{4}\binom{13}{3}+\binom{11}{5}\binom{13}{2}+\binom{11}{6}\binom{13}{1}+\binom{11}{7}\binom{13}{0}\) = \(94380+36036+6006+330=136752\). Hence, 136752 is correct. Option 94380 counts only the case of exactly 4 teachers, not every case covered by “at least 4”. Exam tip: For “at least,” add all cases from the stated number up to the maximum possible number.समूह में शिक्षकों की संख्या 4, 5, 6 या 7 हो सकती है। अतः कुल तरीके हैं: \(\binom{11}{4}\binom{13}{3}+\binom{11}{5}\binom{13}{2}+\binom{11}{6}\binom{13}{1}+\binom{11}{7}\binom{13}{0}\) = \(94380+36036+6006+330=136752\)। इसलिए सही उत्तर 136752 है। विकल्प 94380 केवल ठीक 4 शिक्षक चुनने वाले मामले को दर्शाता है, ‘कम से कम 4’ के सभी मामलों को नहीं। परीक्षा टिप: ‘कम से कम’ में दी गई संख्या से लेकर संभव अधिकतम संख्या तक सभी मामले जोड़ें।
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