In how many ways can an even number of coins be selected from (14) different coins?(14) अलग-अलग सिक्कों में से सम संख्या में सिक्के चुनने के कितने तरीके हैं?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 81928192
The total number of subsets of 14 distinct coins is \(2^{14}=16384\). Every odd-sized selection can be paired with an even-sized selection by including or removing one fixed coin, so the numbers of even and odd selections are equal. Hence, the number of ways to select an even number of coins is \(\frac{2^{14}}{2}=2^{13}=8192\). \(16384\) counts all selections, not only the even-sized ones. Exam tip: For \(n\geq1\) distinct objects, the number of even-sized subsets and odd-sized subsets is \(2^{n-1}\) each.14 अलग-अलग सिक्कों के सभी उपसमुच्चयों की संख्या \(2^{14}=16384\) है। प्रत्येक विषम संख्या वाले चयन को एक निश्चित सिक्के को शामिल/हटाकर सम संख्या वाले चयन से जोड़ा जा सकता है; इसलिए सम और विषम चयन बराबर होते हैं। अतः सम संख्या में सिक्के चुनने के तरीके \(\frac{2^{14}}{2}=2^{13}=8192\) हैं। \(16384\) सभी चयन हैं, केवल सम संख्या वाले चयन नहीं। परीक्षा टिप: \(n\geq1\) अलग-अलग वस्तुओं में सम तथा विषम आकार के उपसमुच्चयों की संख्या प्रत्येक \(2^{n-1}\) होती है।
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