A team of (6) students is to be formed from (13) students. Exactly (3) of (5) special students must be included. How many ways are there?(13) विद्यार्थियों में से (6) विद्यार्थियों की टीम बनानी है। (5) विशेष विद्यार्थियों में से ठीक (3) शामिल होने चाहिए। कितने तरीके हैं?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (560)(560)
Direct answer: Option B, 560 ways. A team is an unordered group, so combinations are used. Exactly 3 of the 5 special students can be selected in \(\binom{5}{3}=10\) ways. The team has 6 members, leaving 3 places. There are \(13-5=8\) non-special students, and 3 of them can be chosen in \(\binom{8}{3}=56\) ways. Multiplication gives \(10\times56=560\). Option A, 420, is too small. Option B, 560, is correct because every counted team has exactly three special and three non-special students. Option C, 700, and option D, 840, are larger incorrect totals caused by overcounting or using the wrong group sizes. Choosing 6 from all 13 would not enforce the exact condition. Exam cue: “exactly 3” fixes both parts of the team—3 special and the remaining 3 non-special.सीधा उत्तर: विकल्प B, 560 तरीके। टीम एक अव्यवस्थित समूह है, इसलिए संयोजन का प्रयोग होगा। 5 विशेष विद्यार्थियों में से ठीक 3 चुनने के तरीके \(\binom{5}{3}=10\) हैं। टीम में कुल 6 सदस्य चाहिए, इसलिए 3 स्थान बाकी हैं। गैर-विशेष विद्यार्थियों की संख्या \(13-5=8\) है और उनमें से 3 चुनने के तरीके \(\binom{8}{3}=56\) हैं। गुणन करने पर कुल \(10\times56=560\) तरीके मिलते हैं। विकल्प A, 420, कम है। विकल्प B, 560, सही है क्योंकि हर गिनी गई टीम में ठीक 3 विशेष और 3 गैर-विशेष विद्यार्थी हैं। विकल्प C, 700 और विकल्प D, 840, अधिक गलत कुल हैं तथा अधिक गिनती करते हैं या गलत समूह संख्या लेते हैं। केवल 13 में से 6 चुनने पर ठीक 3 विशेष होने की शर्त पूरी नहीं होगी। परीक्षा संकेत: “ठीक 3” से टीम के दोनों भाग तय होते हैं—3 विशेष और बाकी 3 गैर-विशेष।
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