In how many ways can at least (4) and at most (6) gifts be selected from (14) different gifts?(14) अलग-अलग उपहारों में से कम से कम (4) और अधिकतम (6) उपहार चुनने के कितने तरीके हैं?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (6006)(6006)
The direct answer is option C, 6006. “At least 4 and at most 6” permits selecting exactly 4, 5, or 6 gifts. Because order does not matter, add the three combination counts: \(\binom{14}{4}+\binom{14}{5}+\binom{14}{6}=1001+2002+3003=6006\). Option A, 4004, omits part of the permitted selections. Option B, 5005, is also too small and does not equal the full sum. Option C includes every allowed size once and is correct. Option D, 7007, overcounts. Do not use permutations because arranging selected gifts is irrelevant; only the chosen set matters. Exam cue: translate the interval directly into a sum from the lower number through the upper number.सीधा उत्तर विकल्प C, 6006, है। “कम से कम 4 और अधिकतम 6” का अर्थ है कि ठीक 4, 5 या 6 उपहार चुने जाएँ। क्रम महत्वपूर्ण नहीं है, इसलिए तीन संयोजनों को जोड़ें: \(\binom{14}{4}+\binom{14}{5}+\binom{14}{6}=1001+2002+3003=6006\)। A यानी 4004 कुछ मान्य चयन छोड़ देता है। B यानी 5005 भी पूरे योग से कम है और सही योग नहीं है। C प्रत्येक अनुमत आकार को एक बार शामिल करता है, इसलिए सही है। D यानी 7007 अधिक गिनता है। यहाँ क्रम मायने नहीं रखता, इसलिए permutation नहीं लगाना चाहिए; केवल चुना हुआ समूह महत्वपूर्ण है। परीक्षा-सूत्र: “कम से कम से अधिकतम तक” हर आकार का संयोजन जोड़ें।
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