From (13) players (6) players are to be selected and exactly (2) of (4) special players are selected. How many ways are there?(13) खिलाड़ियों में से (6) खिलाड़ी चुनने हैं और (4) विशेष खिलाड़ियों में से ठीक (2) खिलाड़ी चुने जाएं। कितने तरीके हैं?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (756)(756)
Direct answer: Option C, 756 ways. The order of selected players does not matter, so use combinations. Exactly 2 of the 4 special players are chosen in \(\binom{4}{2}=6\) ways. Since 6 players are needed altogether, the remaining \(6-2=4\) players must come from the 9 non-special players, because \(13-4=9\). Those choices number \(\binom{9}{4}=126\). Therefore the total is \(6\times126=756\). Option A, 504, and option B, 630, are too small and do not represent the correct product. Option C, 756, is correct because it counts exactly two special players and four others. Option D, 1008, is too large and overcounts. The phrase “exactly 2” means that selecting 3 or 4 special players is forbidden. First divide the players into special and non-special groups, then multiply the two combination counts.सीधा उत्तर: विकल्प C, 756 तरीके। चुने गए खिलाड़ियों का क्रम महत्वपूर्ण नहीं है, इसलिए संयोजन लगाए जाएँगे। 4 विशेष खिलाड़ियों में से ठीक 2 चुनने के तरीके \(\binom{4}{2}=6\) हैं। कुल 6 खिलाड़ी चाहिए, इसलिए बाकी \(6-2=4\) खिलाड़ी 9 गैर-विशेष खिलाड़ियों में से चुनने होंगे, क्योंकि \(13-4=9\)। इनके तरीके \(\binom{9}{4}=126\) हैं। अतः कुल तरीके \(6\times126=756\) हैं। विकल्प A, 504 और विकल्प B, 630, कम हैं तथा सही गुणनफल नहीं देते। विकल्प C, 756, सही है क्योंकि इसमें ठीक 2 विशेष और 4 अन्य खिलाड़ी आते हैं। विकल्प D, 1008, अधिक है और चयन को दोबारा गिनता है। “ठीक 2” का अर्थ है कि 3 या 4 विशेष खिलाड़ियों वाले चयन अस्वीकार होंगे। पहले खिलाड़ियों को विशेष और गैर-विशेष समूहों में बाँटें, फिर दोनों संयोजनों को गुणा करें।
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