From numbers (1) to (40), (5) numbers are to be selected with exactly (2) numbers being multiples of (4). How many ways are there?(1) से (40) तक की संख्याओं में से (5) संख्याएं चुननी हैं जिनमें ठीक (2) संख्याएं (4) की गुणज हों। कितने तरीके हैं?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (122760)(122760)
Direct answer: Option A, 122,760 ways. The multiples of 4 from 1 through 40 are 4, 8, ..., 40. Since \(40\div4=10\), there are 10 such numbers. The remaining \(40-10=30\) numbers are not multiples of 4. Exactly 2 multiples must be selected, so their choices are \(\binom{10}{2}=45\). The other 3 numbers must come from the 30 non-multiples, giving \(\binom{30}{3}=4060\). Thus the total is \(45\times4060=122760\). Option A matches this result. Options B, 130,500, C, 136,080, and D, 182,700, do not equal the required product and therefore count the wrong number of selections. The word “exactly” is essential: selecting more or fewer than two multiples is not allowed. Memory cue: count the special category first, then choose the remaining items from its complement.सीधा उत्तर: विकल्प A, 122,760 तरीके। 1 से 40 तक 4 के गुणज 4, 8, ..., 40 हैं। क्योंकि \(40\div4=10\), इसलिए 4 के कुल 10 गुणज हैं। बाकी \(40-10=30\) संख्याएँ 4 की गुणज नहीं हैं। ठीक 2 गुणज चुनने के तरीके \(\binom{10}{2}=45\) हैं। शेष 3 संख्याएँ 30 गैर-गुणज संख्याओं में से चुननी होंगी, जिनके तरीके \(\binom{30}{3}=4060\) हैं। अतः कुल तरीके \(45\times4060=122760\) हैं। विकल्प A इसी परिणाम के बराबर है। विकल्प B, 130500, विकल्प C, 136080 और विकल्प D, 182700 सही गुणनफल नहीं देते, इसलिए वे गलत संख्या गिनते हैं। “ठीक” शब्द बहुत महत्वपूर्ण है; 2 से कम या अधिक गुणज वाले चयन स्वीकार नहीं होंगे। याद रखें: पहले विशेष वर्ग की संख्या गिनें, फिर बाकी चयन उसके पूरक वर्ग से करें।
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