From 5 mathematics, 4 physics, and 3 chemistry books, 5 books are selected with at least 1 book from each subject. How many selections are possible?5 गणित, 4 भौतिकी और 3 रसायन की पुस्तकों में से 5 पुस्तकें चुननी हैं, जिनमें प्रत्येक विषय की कम से कम 1 पुस्तक हो। ऐसे कितने चयन संभव हैं?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 590590
This is a restricted-combination problem because five books must be selected and all three subjects must be represented. The possible subject distributions are (3,1,1), (1,3,1), (1,1,3), (2,2,1), (2,1,2), and (1,2,2). Their counts are respectively C(5,3)C(4,1)C(3,1)=120, C(5,1)C(4,3)C(3,1)=60, C(5,1)C(4,1)C(3,3)=20, C(5,2)C(4,2)C(3,1)=180, C(5,2)C(4,1)C(3,2)=120, and C(5,1)C(4,2)C(3,2)=90. Adding these mutually exclusive cases gives 120+60+20+180+120+90=590. Thus option A is correct. The restriction is essential; simply choosing any five of the twelve books would include selections missing one subject.यह प्रतिबंधित संयोजन का प्रश्न है, क्योंकि पाँच पुस्तकों के चयन में तीनों विषयों से कम से कम एक पुस्तक अनिवार्य है। विषयवार संभावित वितरण हैं: (3,1,1), (1,3,1), (1,1,3), (2,2,1), (2,1,2) और (1,2,2)। इनके तरीकों की संख्या क्रमशः 120, 60, 20, 180, 120 और 90 है। उदाहरण के लिए (3,1,1) के लिए C(5,3) × C(4,1) × C(3,1) = 10 × 4 × 3 = 120। सभी अलग-अलग मामलों को जोड़ने पर 120 + 60 + 20 + 180 + 120 + 90 = 590 प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। सीधे C(12,5) लेने पर ऐसे चयन भी गिने जाएंगे जिनमें किसी एक विषय की कोई पुस्तक नहीं होगी। समावेशन-बहिष्करण से भी यही उत्तर मिलता है।
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