From (9) teachers and (11) students a group of (6) people is to be formed with at least (3) teachers. How many ways are there?(9) शिक्षकों और (11) छात्रों में से (6) लोगों का समूह बनाना है जिसमें कम से कम (3) शिक्षक हों। कितने तरीके हैं?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 2226022260
The group can contain 3, 4, 5, or 6 teachers. Hence, the total number of ways is \(\binom{9}{3}\binom{11}{3}+\binom{9}{4}\binom{11}{2}+\binom{9}{5}\binom{11}{1}+\binom{9}{6}\binom{11}{0}\) = \(13860+6930+1386+84=22260\). Therefore, 22260 is correct. Option 13860 counts only the case of exactly 3 teachers, whereas the question requires at least 3 teachers. Exam tip: For ‘at least’ conditions, add all permitted cases.समूह में शिक्षकों की संख्या 3, 4, 5 या 6 हो सकती है। अतः कुल तरीके हैं: \(\binom{9}{3}\binom{11}{3}+\binom{9}{4}\binom{11}{2}+\binom{9}{5}\binom{11}{1}+\binom{9}{6}\binom{11}{0}\) = \(13860+6930+1386+84=22260\)। इसलिए सही उत्तर 22260 है। विकल्प 13860 केवल ठीक 3 शिक्षक चुनने के तरीकों को दर्शाता है, जबकि प्रश्न में कम से कम 3 शिक्षक हैं। परीक्षा टिप: ‘कम से कम’ वाले प्रश्नों में सभी संभव मामलों का योग करें।
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