From numbers (1) to (30), (3) numbers that are multiples of (3) and (2) numbers that are not multiples of (3) are to be selected. How many ways are there?(1) से (30) तक की संख्याओं में से (3) ऐसी संख्याएं चुननी हैं जो (3) की गुणज हों और (2) ऐसी संख्याएं जो (3) की गुणज न हों। कितने तरीके हैं?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (22800)(22800)
The direct answer is option A, 22800. From 1 to 30, the multiples of 3 are 3, 6, ..., 30, so there are \(30/3=10\). The remaining \(30-10=20\) numbers are not multiples of 3. We independently choose 3 of the first group and 2 of the second group, so the multiplication principle gives \(\binom{10}{3}\binom{20}{2}=120\times190=22800\). Option A is exactly this value. B, 11400, is half the correct result and misses valid selections. C, 19000, is not the product of the required independent choices. D, 45600, doubles the correct count and therefore overcounts. The groups are disjoint, so combinations are multiplied, not added.सीधा उत्तर विकल्प A, 22800, है। 1 से 30 तक 3 के गुणज 3, 6, ..., 30 हैं, इसलिए उनकी संख्या \(30/3=10\) है। बाकी \(30-10=20\) संख्याएँ 3 की गुणज नहीं हैं। पहले समूह से 3 और दूसरे समूह से 2 संख्याएँ स्वतंत्र रूप से चुननी हैं। इसलिए गुणन सिद्धांत से \(\binom{10}{3}\binom{20}{2}=120\times190=22800\) मिलता है। A यही सही मान है। B यानी 11400 सही उत्तर का आधा है और कुछ मान्य चयन छोड़ देता है। C यानी 19000 आवश्यक संयोजनों का गुणनफल नहीं है। D यानी 45600 सही उत्तर को दोगुना करके अधिक गिनता है। दोनों समूह अलग-अलग हैं, इसलिए उनके तरीकों को जोड़ना नहीं, गुणा करना चाहिए।
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