A team of (6) students is to be formed from (12) students. Exactly (3) of (5) special students must be included. How many ways are there?(12) विद्यार्थियों में से (6) विद्यार्थियों की टीम बनानी है। (5) विशेष विद्यार्थियों में से ठीक (3) शामिल होने चाहिए। कितने तरीके हैं?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (350)(350)
Direct answer: Option C, 350 ways. Because a team is an unordered selection, combinations are appropriate. Exactly 3 of the 5 special students are selected, giving \(\binom{5}{3}=10\) choices. The team has 6 members, so the other \(6-3=3\) must come from the 7 non-special students. These can be chosen in \(\binom{7}{3}=35\) ways. Multiplying independent choices gives \(10\times35=350\). Option A, 280, is too small and does not equal the required product. Option B, 320, is another incorrect count. Option C, 350, is correct because it enforces exactly three special members and exactly three others. Option D, 420, is too large and overcounts. A common mistake is to choose 6 from all 12 first; that would not guarantee exactly three special students. Always split the selection into the specified groups.सीधा उत्तर: विकल्प C, 350 तरीके। टीम एक अव्यवस्थित चयन है, इसलिए संयोजन का उपयोग करेंगे। 5 विशेष विद्यार्थियों में से ठीक 3 चुनने के तरीके \(\binom{5}{3}=10\) हैं। कुल 6 सदस्य चाहिए, इसलिए बाकी \(6-3=3\) विद्यार्थी 7 गैर-विशेष विद्यार्थियों में से चुनने होंगे। इसके तरीके \(\binom{7}{3}=35\) हैं। स्वतंत्र चुनावों को गुणा करने पर \(10\times35=350\) मिलता है। विकल्प A, 280, कम है और सही गुणनफल नहीं है। विकल्प B, 320, भी गलत गिनती है। विकल्प C, 350, सही है क्योंकि इसमें ठीक 3 विशेष और ठीक 3 गैर-विशेष विद्यार्थी आते हैं। विकल्प D, 420, अधिक है और चयन को अधिक बार गिनता है। सामान्य गलती है कि पहले 12 में से कोई 6 चुन लिए जाएँ; इससे ठीक 3 विशेष होने की गारंटी नहीं रहती। इसलिए चयन को विशेष और गैर-विशेष समूहों में बाँटकर गिनें।
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