In how many ways can an odd number of toys be selected from (9) different toys?(9) अलग-अलग खिलौनों में से विषम संख्या में खिलौने चुनने के कितने तरीके हैं?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 256256
There are \(2^9=512\) subsets of 9 distinct toys. Pair every selection not containing one fixed toy with the selection obtained by adding that toy. Each pair has one even-sized selection and one odd-sized selection. Hence, the number of odd-sized selections is half of 512: \(2^9/2=2^8=256\). Thus, 255 is incorrect because the numbers of even-sized and odd-sized selections are equal. Exam tip: For \(n\geq1\) distinct objects, the number of odd-sized subsets is \(2^{n-1}\).9 अलग-अलग खिलौनों के सभी उपसमुच्चयों की संख्या \(2^9=512\) है। किसी एक निश्चित खिलौने को लेकर, जिन चयनों में वह खिलौना शामिल है और जिनमें नहीं है, ऐसे चयन जोड़े बनाते हैं; प्रत्येक जोड़े में एक चयन विषम आकार का और दूसरा सम आकार का होता है। इसलिए विषम संख्या वाले चयन कुल का आधा, अर्थात \(2^9/2=2^8=256\), हैं। 255 इसलिए गलत है क्योंकि सम और विषम आकार के चयनों की संख्याएँ बराबर होती हैं। परीक्षा टिप: \(n\geq1\) अलग-अलग वस्तुओं के विषम आकार के उपसमुच्चय हमेशा \(2^{n-1}\) होते हैं।
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