In how many ways can an even number of coins be selected from (10) different coins?(10) अलग-अलग सिक्कों में से सम संख्या में सिक्के चुनने के कितने तरीके हैं?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (512)(512)
The direct answer is option B, 512. For each of 10 different coins, there are two choices: select it or do not select it, giving \(2^{10}\) total subsets. Exactly half of all subsets have an even number of coins and half have an odd number, because pairing a selection with one obtained by changing one fixed coin switches parity. Therefore the number of even selections is \(2^{10}/2=2^9=512\). This includes selecting zero coins and all 10 coins. Option A, 256, is only half of the correct even count. Option B is correct. Option C, 1023, counts all nonempty selections, not only even ones. Option D, 1024, counts every selection, including odd selections. Exam cue: for \(n\) distinct objects, the number of subsets of even size is \(2^{n-1}\).सीधा उत्तर विकल्प B, 512, है। 10 अलग-अलग सिक्कों में हर सिक्के के लिए दो विकल्प हैं: उसे चुनें या न चुनें। इसलिए कुल चयन \(2^{10}=1024\) हैं। इनमें ठीक आधे चयन सम संख्या वाले और आधे विषम संख्या वाले होते हैं; किसी एक निश्चित सिक्के को जोड़ने या हटाने से सम-विषम स्थिति बदल जाती है। अतः सम चयन \(2^{10}/2=2^9=512\) हैं। इसमें शून्य सिक्के और सभी 10 सिक्के चुनना भी शामिल है। A यानी 256 सही संख्या से आधा है। B सही है। C यानी 1023 सभी गैर-रिक्त चयन गिनता है, केवल सम चयन नहीं। D यानी 1024 हर संभव चयन गिनता है, जिसमें विषम चयन भी हैं। परीक्षा-सूत्र: \(n\) अलग वस्तुओं के सम आकार वाले उपसमुच्चय \(2^{n-1}\) होते हैं।
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