From (12) players (6) players are to be selected and exactly (2) of (3) special players are selected. How many ways are there?(12) खिलाड़ियों में से (6) खिलाड़ी चुनने हैं और (3) विशेष खिलाड़ियों में से ठीक (2) खिलाड़ी चुने जाएं। कितने तरीके हैं?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (378)(378)
Direct answer: Option C, 378 ways. Since only the members selected matter, not their order, use combinations. Exactly 2 of the 3 special players are required: \(\binom{3}{2}=3\). Six players are selected altogether, so the remaining number is \(6-2=4\). There are \(12-3=9\) non-special players, and 4 can be chosen in \(\binom{9}{4}=126\) ways. Hence the multiplication rule gives \(\binom{3}{2}\binom{9}{4}=3\times126=378\). Option A, 252, misses or miscounts some valid choices. Option B, 315, is not the product required by the two independent choices. Option C, 378, correctly counts every choice with exactly two special players. Option D, 504, is too large and represents overcounting. Exam cue: subtract the special group from the total before choosing the remaining players.सीधा उत्तर: विकल्प C, 378 तरीके। यहाँ खिलाड़ियों का क्रम नहीं, केवल चुना गया समूह महत्वपूर्ण है, इसलिए संयोजन लगाएँगे। 3 विशेष खिलाड़ियों में से ठीक 2 चुनने के तरीके \(\binom{3}{2}=3\) हैं। कुल 6 खिलाड़ी चुनने हैं, इसलिए बाकी खिलाड़ी \(6-2=4\) होंगे। गैर-विशेष खिलाड़ियों की संख्या \(12-3=9\) है और उनमें से 4 चुनने के तरीके \(\binom{9}{4}=126\) हैं। अतः गुणन नियम से कुल संख्या \(\binom{3}{2}\binom{9}{4}=3\times126=378\) है। विकल्प A, 252, सभी वैध चयन नहीं गिनता। विकल्प B, 315, आवश्यक दोनों संयोजनों का सही गुणनफल नहीं है। विकल्प C, 378, ठीक 2 विशेष खिलाड़ियों वाले सभी चयन गिनता है। विकल्प D, 504, अधिक है और चयन दोबारा गिनता है। परीक्षा संकेत: शेष खिलाड़ियों की संख्या निकालने के लिए कुल खिलाड़ियों में से विशेष खिलाड़ियों को घटाएँ।
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