A committee of (5) members is to be formed from (14) members with (2) fixed members included. How many ways are possible?(14) सदस्यों में से (5) सदस्यों की समिति बनानी है जिसमें (2) निश्चित सदस्य अवश्य शामिल हों। कितने तरीके होंगे?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (220)(220)
The direct answer is option A, 220. Two specified members must be included, so they occupy two of the five committee places automatically. We must select the remaining \(5-2=3\) members from the other \(14-2=12\) members. Order does not matter in a committee, so the count is \(\binom{12}{3}=\frac{12\times11\times10}{3\times2\times1}=220\). Option A is correct. Option B, 364, equals \(\binom{14}{3}\) and ignores the compulsory-inclusion condition. Option C, 1001, equals \(\binom{14}{?}\) for a different selection size and is not the required count. Option D, 2002, also overcounts and does not follow the fixed-member method. The safe method is: fix the required members, find how many places remain, find how many people remain available, and then use a combination. Memory cue: committee selection ignores order, and compulsory members reduce both numbers.सीधा उत्तर विकल्प A, 220 है। दो निश्चित सदस्य समिति में अवश्य शामिल होंगे, इसलिए पांच में से दो स्थान पहले ही भर गए। अब केवल \(5-2=3\) सदस्य चुनने हैं। इन 3 सदस्यों को बाकी \(14-2=12\) सदस्यों में से चुनना है। समिति में क्रम महत्वपूर्ण नहीं होता, इसलिए \(\binom{12}{3}=\frac{12\times11\times10}{3\times2\times1}=220\)। विकल्प A सही है। विकल्प B, 364, \(14\) में से 3 चुनने जैसा परिणाम है और निश्चित सदस्यों को अनिवार्य मानने की शर्त को छोड़ देता है। विकल्प C, 1001, इस प्रश्न में आवश्यक चयन \(\binom{12}{3}\) नहीं है और गलत संख्या देता है। विकल्प D, 2002, भी बहुत बड़ा परिणाम है और निश्चित सदस्यों के बाद बचे स्थानों की गणना नहीं करता। सही विधि हमेशा यही है: निश्चित सदस्यों को पहले शामिल मानें, बचे हुए स्थान और बचे हुए लोग गिनें, फिर combination लगाएं। याद रखें: समिति में क्रम नहीं गिना जाता और निश्चित सदस्य दोनों संख्याओं को घटाते हैं।
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