From (8) friends (4) are to be selected for a trip and at least one of two friends must go. How many ways are there?(8) मित्रों में से (4) को यात्रा के लिए चुनना है और दो मित्रों में से कम से कम एक जाना चाहिए। कितने तरीके हैं?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (55)(55)
The direct answer is option B, 55. We select 4 friends from 8, and at least one of two particular friends must be selected. Use the complement. First count all four-friend groups: C4 = 8!/(4!4!) = 70. Now count the groups in which neither of the two particular friends goes. Then all 4 members must come from the other 6 friends, giving C4 = 6!/(4!2!) = 15. Subtracting gives 70 − 15 = 55. Option A, 45, subtracts an incorrect number. Option B, 55, is correct because it excludes exactly the groups missing both required candidates. Option C, 60, does not remove all such groups. Option D, 70, is the unrestricted total and includes groups where both particular friends are absent. “At least one” allows exactly one or both, so we must not exclude groups containing both. Memory cue: at least one of a pair = total groups minus groups containing neither.सीधा उत्तर विकल्प B, 55 है। 8 मित्रों में से 4 चुनने हैं और दो निश्चित मित्रों में से कम से कम एक जाना चाहिए। पूरक विधि लगाएँ। पहले सभी चार-मित्र समूह गिनें: C4 = 8!/(4!4!) = 70। अब उन समूहों को गिनें जिनमें दोनों निश्चित मित्रों में से कोई भी नहीं है। तब चारों सदस्य बाकी 6 मित्रों में से चुनने होंगे, इसलिए संख्या C4 = 6!/(4!2!) = 15 है। अतः मान्य समूह = 70 − 15 = 55। विकल्प A, 45, गलत संख्या घटाता है। विकल्प B, 55, सही है क्योंकि इसमें ठीक वही समूह हटाए गए हैं जिनमें दोनों मित्र अनुपस्थित हैं। विकल्प C, 60, ऐसे सभी समूहों को नहीं हटाता। विकल्प D, 70, बिना शर्त कुल संख्या है और इसमें दोनों विशेष मित्रों के बिना वाले समूह भी शामिल हैं। “कम से कम एक” का अर्थ है एक या दोनों; इसलिए दोनों के चुने जाने वाले समूहों को नहीं हटाना चाहिए। याद रखें: दो में से कम से कम एक = कुल − दोनों के बिना वाले समूह।
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