From (12) students (5) students are to be selected. At least (1) of (4) special students must be included. How many ways are there?(12) छात्रों में से (5) छात्रों का चयन करना है। (4) विशेष छात्रों में से कम से कम (1) शामिल हो। कितने तरीके हैं?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (736)(736)
The direct answer is option A, 736. We need five students from twelve, and at least one of four special students must be included. “At least one” is easiest to count by complement: count all teams, then subtract teams containing no special student. Total teams are C5 = 12!/(5!7!) = 792. If no special student is chosen, all five students must come from the remaining 8 ordinary students, giving C5 = 56. Therefore valid teams = 792 − 56 = 736. Option A, 736, is correct. Option B, 760, results from an incorrect subtraction or combination value. Option C, 770, does not remove all teams with no special student. Option D, 792, is merely the unrestricted total and includes invalid teams. Notice that “at least one” includes teams with one, two, three, or four special students, so adding separate cases is possible but less convenient. Memory cue: for “at least one,” use total minus zero.सीधा उत्तर विकल्प A, 736 है। 12 विद्यार्थियों में से 5 चुनने हैं और 4 विशेष विद्यार्थियों में से कम से कम 1 अवश्य होना चाहिए। “कम से कम एक” को पूरक विधि से गिनना आसान है: पहले सभी टीमों की संख्या लें, फिर उन टीमों को घटाएँ जिनमें कोई भी विशेष विद्यार्थी नहीं है। कुल टीमें C5 = 12!/(5!7!) = 792 हैं। यदि कोई विशेष विद्यार्थी न लिया जाए, तो पाँचों विद्यार्थी बाकी 8 साधारण विद्यार्थियों में से होंगे; ऐसे तरीके C5 = 56 हैं। इसलिए मान्य टीमें 792 − 56 = 736 हैं। विकल्प A, 736, सही है। विकल्प B, 760, गलत घटाव या गलत संयोजन से आता है। विकल्प C, 770, सभी “कोई विशेष नहीं” वाली टीमों को सही तरह नहीं घटाता। विकल्प D, 792, केवल कुल चयन है और उसमें अमान्य टीमें भी शामिल हैं। “कम से कम एक” में 1, 2, 3 या 4 विशेष विद्यार्थी सभी शामिल हो सकते हैं, इसलिए पूरक विधि अधिक सरल है। याद रखें: “कम से कम एक” = कुल − एक भी नहीं।
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