From 5 men and 5 women, 3 persons are to be selected with at least 1 woman. How many selections are possible?5 पुरुषों और 5 महिलाओं में से 3 व्यक्तियों का चयन करना है, जिसमें कम से कम 1 महिला हो। ऐसे कितने चयन संभव हैं?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 110110
This is a combinations problem because a group of three people is selected and the order of its members is irrelevant. There are 10 people in total, so unrestricted selections number C(10,3) = 10!/(3!7!) = 120. The phrase “at least 1 woman” rules out only the selections containing three men. Since there are 5 men, the number of excluded groups is C(5,3) = 10. Thus valid selections are C(10,3) − C(5,3) = 120 − 10 = 110. Therefore option C is correct. Equivalently, the cases of one, two, and three women give C(5,1)C(5,2) + C(5,2)C(5,1) + C(5,3) = 50 + 50 + 10 = 110. Option D is the unrestricted total and includes invalid all-men groups.यह संयोजन का प्रश्न है, क्योंकि तीन व्यक्तियों का समूह चुना जा रहा है और सदस्यों का क्रम बदलने से नया चयन नहीं बनता। कुल 10 व्यक्तियों में से 3 चुनने के तरीके C(10,3) = 10!/(3!7!) = 120 हैं। “कम से कम 1 महिला” की शर्त को केवल वे समूह तोड़ते हैं जिनमें तीनों व्यक्ति पुरुष हैं। 5 पुरुषों में से 3 चुनने के तरीके C(5,3) = 10 हैं। इसलिए मान्य चयन = 120 − 10 = 110 होंगे। सीधे गणना से भी 1 महिला के लिए C(5,1)C(5,2) = 50, 2 महिलाओं के लिए C(5,2)C(5,1) = 50 और 3 महिलाओं के लिए C(5,3) = 10 मिलते हैं; योग 110 है। अतः विकल्प C सही है। विकल्प D में सभी पुरुषों वाले अमान्य समूह भी शामिल हैं।
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