If (x\in\mathbb{Z}) and (1\le\frac{5x-2}{3}<8), how many values of (x) are there?यदि (x\in\mathbb{Z}) और (1\le\frac{5x-2}{3}<8), तो (x) के कितने मान हैं?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 55
The governing idea is to solve the compound inequality first and then count only the integer points in the resulting interval. Since 3 is positive, multiplying 1\le(5x-2)/3<8 by 3 preserves both inequality signs: 3\le5x-2<24. Adding 2 throughout gives 5\le5x<26. Dividing by positive 5 yields 1\le x<26/5, or 1\le x<5.2. Because x is restricted to the integers, the possible values are x=1,2,3,4,5, exactly five values. The upper endpoint 26/5 is not an integer and is excluded anyway, while x=1 is included because the left inequality is non-strict. Hence option B is correct. Options A, C, and D result from miscounting an endpoint or ignoring the integer restriction.मुख्य विचार यह है कि पहले संयुक्त असमानता का वास्तविक अंतराल निकाला जाए और फिर उसमें केवल पूर्णांक मान गिने जाएँ। 3 धनात्मक है, इसलिए 1\le(5x-2)/3<8 को 3 से गुणा करने पर चिन्ह नहीं बदलते और 3\le5x-2<24 मिलता है। पूरे कथन में 2 जोड़ने पर 5\le5x<26 प्राप्त होता है। अब धनात्मक 5 से भाग देने पर 1\le x<26/5, अर्थात 1\le x<5.2 मिलता है। चूँकि x पूर्णांक है, सम्भव मान केवल 1, 2, 3, 4 और 5 हैं। इसलिए कुल पाँच मान हैं और विकल्प B सही है। 1 शामिल है क्योंकि बायाँ चिन्ह ‘छोटा या बराबर’ है; 26/5 स्वयं पूर्णांक भी नहीं है और दायाँ सिरा खुला है। अन्य विकल्पों में सीमा गिनने या x के पूर्णांक होने की शर्त की उपेक्षा हुई है।
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