If 4x − 1 > 7 and 2x + 3 ≤ 17, what is the common solution set?यदि 4x − 1 > 7 और 2x + 3 ≤ 17, तो संयुक्त समाधान समुच्चय क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 2 < x ≤ 72 < x ≤ 7
For a common solution, solve each inequality and take their intersection. From 4x − 1 > 7, add 1 to obtain 4x > 8, then divide by positive 4: x > 2. From 2x + 3 ≤ 17, subtract 3 to get 2x ≤ 14, then divide by positive 2: x ≤ 7. A number must satisfy both conditions, so it must be greater than 2 and at most 7. Therefore the intersection is 2 < x ≤ 7, which is option C. The lower endpoint 2 is excluded because the first inequality is strict, while 7 is included because the second inequality is non-strict. Option B incorrectly includes 2, option D incorrectly excludes 7, and option A describes a disjoint condition rather than the common intersection.संयुक्त समाधान प्राप्त करने के लिए दोनों असमिकाओं को अलग-अलग हल करके उनका प्रतिच्छेद लेना होगा। पहली असमिका 4x − 1 > 7 में दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर 4x > 8 और धनात्मक 4 से भाग देने पर x > 2 मिलता है। दूसरी असमिका 2x + 3 ≤ 17 में 3 घटाने पर 2x ≤ 14 और 2 से भाग देने पर x ≤ 7 प्राप्त होता है। इसलिए ऐसे x चाहिए जो 2 से बड़े और 7 से छोटे या बराबर हों। प्रतिच्छेद 2 < x ≤ 7 है, अतः विकल्प C सही है। 2 शामिल नहीं है क्योंकि पहली असमिका में > है, जबकि 7 शामिल है क्योंकि दूसरी में ≤ है। विकल्प B में 2 को गलत रूप से शामिल किया गया है, विकल्प D में 7 को बाहर किया गया है और विकल्प A प्रतिच्छेद के बजाय असंबद्ध शर्त बताता है।
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