If 2x − 3 ≤ 5 and x + 1 > 0, what is the combined solution?यदि 2x − 3 ≤ 5 और x + 1 > 0 है, तो संयुक्त हल क्या होगा?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: −1 < x ≤ 4−1 < x ≤ 4
Because both inequalities must hold simultaneously, their solution sets must be intersected. First solve 2x − 3 ≤ 5: adding 3 gives 2x ≤ 8, and division by positive 2 gives x ≤ 4. Next solve x + 1 > 0: subtracting 1 gives x > −1. The numbers satisfying both conditions are therefore greater than −1 and at most 4, written as −1 < x ≤ 4. The lower endpoint is open because x = −1 makes the second inequality false, while the upper endpoint is closed because x = 4 satisfies the first inequality with equality. Option B incorrectly includes −1 and excludes 4; C and D retain only one incorrect boundary region. Hence A is correct.दोनों असमताएँ एक साथ सत्य होनी चाहिए, इसलिए उनके हल समुच्चयों का प्रतिच्छेद लेना होगा। पहली असमता 2x − 3 ≤ 5 में 3 जोड़ने पर 2x ≤ 8 और धनात्मक 2 से भाग देने पर x ≤ 4 मिलता है। दूसरी असमता x + 1 > 0 में 1 घटाने पर x > −1 प्राप्त होता है। अतः दोनों शर्तों को एक साथ संतुष्ट करने वाले मान −1 से बड़े और 4 तक, 4 सहित, होंगे। इसलिए संयुक्त हल −1 < x ≤ 4 है। −1 खुला सिरा है, क्योंकि वहाँ दूसरी असमता असत्य होती है। 4 बंद सिरा है, क्योंकि वहाँ पहली असमता बराबरी सहित सत्य है। विकल्प B सिरों की स्थिति बदलता है, जबकि C और D पूरा प्रतिच्छेद नहीं देते।
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