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Statement and proof of the binomial theorem for positive integral indices
In this Class 11 Mathematics topic from the Binomial Theorem chapter, students learn the statement of the binomial theorem for a positive integral index and understand how it is proved. The theorem expresses the expansion of (a + b)^n as a finite sum involving binomial coefficients. Students examine the pattern of terms, powers of a and b, and the role of combinations in determining coefficients, building the foundation for finding specific terms and using binomial expansions accurately.
Medium · Level 1 · 1 questions
TOPIC PRACTICE
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Put x = 1 in (1 + x)ⁿ
Put x = 0 in (1 + x)ⁿ
Put x = -1 in (1 + x)ⁿ
Put x = n in (1 + x)ⁿ
Question 1MediumLevel 1
The identity Σ from r = 0 to n of (-1)^r ⁿCᵣ = 0 is connected with which substitution?Σ, जहाँ r = 0 से n तक (-1)^r ⁿCᵣ का मान 0 है, किस प्रतिस्थापन से प्राप्त होता है?
Correct answer:सही उत्तर:C
The governing concept is the binomial theorem, (1+x)ⁿ = Σ from r=0 to n of ⁿCᵣxʳ. The required identity contains the factor (−1)^r, so x must be replaced by −1; this changes xʳ into (−1)^r. The left side then becomes (1−1)ⁿ=0ⁿ=0 for positive n, while the expansion becomes Σ ⁿCᵣ(−1)^r. Therefore option C is correct. If x=1 is used, the result is the sum of all positive coefficients, 2ⁿ. If x=0 is used, all terms except the constant term vanish. Taking x=n creates no alternating sign pattern and cannot produce the stated identity.यह परिणाम द्विपद प्रमेय (1+x)ⁿ = Σ, जहाँ r=0 से n तक, ⁿCᵣxʳ, से प्राप्त होता है। दिए गए योग में प्रत्येक पद के साथ (−1)^r है, इसलिए x के स्थान पर −1 रखना आवश्यक है; तब xʳ का रूप (−1)^r हो जाता है। इस प्रतिस्थापन से बायाँ पक्ष (1−1)ⁿ=0ⁿ=0 बनता है, जब n धनात्मक हो, और विस्तार Σ ⁿCᵣ(−1)^r प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प C सही है। x=1 रखने पर सभी धनात्मक द्विपद गुणांकों का योग 2ⁿ मिलता है। x=0 रखने पर केवल स्थिर पद बचता है। x=n रखने से alternating signs नहीं आते, इसलिए वह दिए गए परिणाम का कारण नहीं हो सकता।
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