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Subjects
Class 11 Mathematics Sets Operations on Sets (Union, Intersection, Difference) Hard Level 18

यदि \(A\cup B=A\cap B\) है, तो निम्नलिखित में से कौन-सा निष्कर्ष सदैव सत्य है?

If \(A\cup B=A\cap B\), which of the following conclusions is always true?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(A=B\)

Explanation

Simple Explanation

किसी भी समुच्चय \(A\) का प्रत्येक अवयव \(A\cup B\) में होता है। दी गई समानता के कारण वह \(A\cap B\) में भी होगा, इसलिए वह \(B\) में होगा। अतः \(A\subseteq B\)। इसी प्रकार \(B\subseteq A\), इसलिए \(A=B\)। विकल्प B और C केवल तब सत्य होंगे जब दोनों समुच्चय रिक्त हों, जबकि विकल्प D भी सदैव सत्य नहीं है। परीक्षा-युक्ति: यदि संघ और प्रतिच्छेद समान दिए हों, तो दोनों समुच्चयों की समानता निष्कर्षित करें। / Every element of \(A\) belongs to \(A\cup B\). By the given equality, it must also belong to \(A\cap B\), and hence to \(B\). Thus, \(A\subseteq B\). Similarly, \(B\subseteq A\), so \(A=B\). Options B and C are true only when both sets are empty, while option D is not always true. Exam tip: Whenever a union equals the corresponding intersection, conclude that the two sets are equal.

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यदि \(A\cup B=A\cap B\) है, तो निम्नलिखित में से कौन-सा निष्कर्ष सदैव सत्य है? / If \(A\cup B=A\cap B\), which of the following conclusions is always true?

Correct Answer: A. \(A=B\). Explanation: किसी भी समुच्चय \(A\) का प्रत्येक अवयव \(A\cup B\) में होता है। दी गई समानता के कारण वह \(A\cap B\) में भी होगा, इसलिए वह \(B\) में होगा। अतः \(A\subseteq B\)। इसी प्रकार \(B\subseteq A\), इसलिए \(A=B\)। विकल्प B और C केवल तब सत्य होंगे जब दोनों समुच्चय रिक्त हों, जबकि विकल्प D भी सदैव सत्य नहीं है। परीक्षा-युक्ति: यदि संघ और प्रतिच्छेद समान दिए हों, तो दोनों समुच्चयों की समानता निष्कर्षित करें। / Every element of \(A\) belongs to \(A\cup B\). By the given equality, it must also belong to \(A\cap B\), and hence to \(B\). Thus, \(A\subseteq B\). Similarly, \(B\subseteq A\), so \(A=B\). Options B and C are true only when both sets are empty, while option D is not always true. Exam tip: Whenever a union equals the corresponding intersection, conclude that the two sets are equal.