If (a,b,c) are in AP and each term is multiplied by (t), what will be the new common difference?यदि (a,b,c) समांतर श्रेणी में हैं और प्रत्येक पद को (t) से गुणा किया जाता है, तो नया सामान्य अंतर क्या होगा?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (t(b-a))(t(b-a))
The direct answer is option C,
\(t(b-a)\). Since
\((a,b,c)\) is an AP, its common difference is
\(b-a"); equivalently,
\(c-b=b-a\). After multiplying every term by
\(t"), the new terms are
\(ta,tb,tc"). Their consecutive difference is
\(tb-ta=t(b-a)"). The next difference is
\(tc-tb=t(c-b)=t(b-a)"), so the result is consistent. Option A,
\(b-a"), is the old difference and misses the scaling by t. Option B,
\(t"), is only the multiplier, not generally the new difference. Option C is correct. Option D,
\(a+t"), adds t to one term and does not describe multiplying all terms. If t is negative, the formula still works and reverses the direction as appropriate. Exam cue: multiplying all AP terms by t multiplies d by t.सीधा उत्तर विकल्प C,
\(t(b-a)\), है। क्योंकि
\((a,b,c)\) AP में हैं, उसका सामान्य अंतर
\(b-a\) है और
\(c-b=b-a\) भी होगा। हर पद को
\(t\) से गुणा करने पर नए पद
\(ta,tb,tc\) बनते हैं। नए क्रमागत पदों का अंतर
\(tb-ta=t(b-a)\) है। अगला अंतर
\(tc-tb=t(c-b)=t(b-a)\) भी वही आता है। इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प A,
\(b-a\), पुराना सामान्य अंतर है और उसमें
\(t\) का गुणन छूट गया है। विकल्प B,
\(t\), केवल गुणक है; सामान्यतः वही नया अंतर नहीं होता। विकल्प D,
\(a+t\), जोड़ने की क्रिया बताता है, जबकि प्रश्न में हर पद का गुणन किया गया है। t ऋणात्मक हो तब भी यही सूत्र सही रहता है। याद रखें: सभी पदों को t से गुणा करने पर d भी t गुना होता है।
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