If (a_n=c-(n-1)r), what are the first term and common difference?यदि (a_n=c-(n-1)r) है, तो पहला पद और सामान्य अंतर क्या हैं?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (a_1=c,d=-r)(a_1=c,d=-r)
The direct answer is D: \(a_1=c\) and \(d=-r\). Compare the formula with the standard arithmetic-progression form \(a_n=a_1+(n-1)d\). Here \(a_n=c-(n-1)r=c+(n-1)(-r)\). Therefore the first term is c and the common difference is -r. Direct checking gives \(a_1=c-(1-1)r=c\). Also, subtracting consecutive terms gives \(a_{n+1}-a_n=-r\), confirming the difference. Option A incorrectly says the first term is c-r and gives a positive difference. Option B has the correct first term but wrong sign for the difference. Option C swaps the roles of c and r. Option D matches both results. Memory cue: the sign before r is the sign of the common difference.सीधा उत्तर D है: \(a_1=c\) और \(d=-r\)। अंकगणितीय श्रेणी का मानक रूप \(a_n=a_1+(n-1)d\) है। दिए गए सूत्र को ऐसे लिखें: \(a_n=c-(n-1)r=c+(n-1)(-r)\)। तुलना करने पर पहला पद c और सार्व अंतर -r मिलता है। सीधे n=1 रखने पर भी \(a_1=c-(1-1)r=c\) मिलता है। लगातार पदों का अंतर निकालने पर \(a_{n+1}-a_n=-r\), इसलिए निष्कर्ष पक्का है। विकल्प A पहले पद को c-r बताता है और अंतर का चिन्ह भी गलत रखता है। विकल्प B पहला पद सही बताता है, पर अंतर r कहकर चिन्ह भूल जाता है। विकल्प C c और r की भूमिकाएं बदल देता है। विकल्प D दोनों बातें सही देता है। याद रखें: r से पहले का ऋण चिन्ह सार्व अंतर को -r बनाता है।
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