For which value of k will k − 2, k + 5, 2k + 1 be in an arithmetic progression?k के किस मान के लिए k − 2, k + 5, 2k + 1 अंकगणितीय श्रेणी में होंगे?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 1111
For three quantities to be consecutive terms of an arithmetic progression, the difference between the second and first must equal the difference between the third and second. Equivalently, twice the middle term equals the sum of the first and third terms. Applying this condition gives 2(k + 5) = (k − 2) + (2k + 1). Therefore 2k + 10 = 3k − 1, so k = 11. Substitution verifies the result: the three terms become 9, 16, and 23. Their successive differences are 16 − 9 = 7 and 23 − 16 = 7, so they really form an AP. Hence option D is correct. The other listed values produce unequal successive differences and therefore cannot satisfy the AP condition.तीन राशियाँ अंकगणितीय श्रेणी के क्रमागत पद तभी होंगी जब दूसरे और पहले पद का अंतर, तीसरे और दूसरे पद के अंतर के बराबर हो। इसका सुविधाजनक रूप है कि मध्य पद का दो गुना, पहले और तीसरे पद के योग के बराबर हो। इसलिए 2(k + 5) = (k − 2) + (2k + 1)। सरल करने पर 2k + 10 = 3k − 1 मिलता है, जिससे k = 11 प्राप्त होता है। जाँच करने पर पद 9, 16 और 23 मिलते हैं। इनके क्रमागत अंतर 16 − 9 = 7 तथा 23 − 16 = 7 हैं, इसलिए ये वास्तव में AP बनाते हैं। अतः विकल्प D सही है। अन्य विकल्पों को रखने पर दोनों क्रमागत अंतर समान नहीं आते, इसलिए वे अंकगणितीय श्रेणी की शर्त पूरी नहीं करते।
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