If (2a−5, a+4, 4a−7) are in an arithmetic progression, what is the value of a?यदि (2a−5, a+4, 4a−7) अंकगणितीय श्रेणी में हैं, तो a का मान क्या होगा?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 55
Use the defining relation for three consecutive AP terms: twice the middle term equals the sum of the first and third terms. Thus 2(a+4)=(2a−5)+(4a−7). Simplifying gives 2a+8=6a−12, so 20=4a and a=5. Substituting a=5 produces the terms 5, 9, and 13. Their consecutive differences are 9−5=4 and 13−9=4, confirming that the terms really form an arithmetic progression. Therefore option D is correct. The other values do not make the two consecutive differences equal. The governing concept is the middle-term property of an AP, which converts the progression condition into a linear equation and gives a unique value of the variable.तीन क्रमागत पदों के अंकगणितीय श्रेणी में होने पर मध्य पद का दुगुना, पहले और तीसरे पद के योग के बराबर होता है। इसलिए 2(a+4)=(2a−5)+(4a−7) लिखते हैं। बायाँ पक्ष 2a+8 और दायाँ पक्ष 6a−12 है। अतः 2a+8=6a−12, जिससे 20=4a और a=5 मिलता है। a=5 रखने पर पद 5, 9 और 13 प्राप्त होते हैं। इनके क्रमागत अंतर 9−5=4 तथा 13−9=4 हैं, इसलिए AP की शर्त की जाँच भी हो जाती है। अतः विकल्प D सही है। अन्य विकल्पों पर दोनों क्रमागत अंतर बराबर नहीं होंगे। यहाँ प्रयुक्त मुख्य सिद्धांत AP का मध्य-पद नियम है, जो दिए गए अनुक्रम की शर्त को एक रैखिक समीकरण में बदलकर चर का एकमात्र मान देता है।
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