If (x−5, x+3, x+11, x+19) is an arithmetic progression, what are the differences of the first two and last two terms?यदि (x−5, x+3, x+11, x+19) अंकगणितीय श्रेणी है, तो पहले दो और अंतिम दो पदों के अंतर क्या हैं?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 8 and 88 and 8
Find each requested difference by subtracting consecutive terms. For the first two terms, (x+3)−(x−5)=x+3−x+5=8. For the last two terms, (x+19)−(x+11)=x+19−x−11=8. In both calculations, the variable x cancels, leaving the same constant difference. Thus the sequence has common difference 8, and the answer is option A. This also verifies the arithmetic-progression property: every successive difference is 8, including (x+11)−(x+3). Options C and D incorrectly retain x after cancellation, while option B gives two numbers that do not result from either subtraction. The key concept is that algebraic expressions may represent fixed differences even when each individual term contains a variable.प्रश्न में माँगे गए दोनों अंतरों को क्रमागत पदों को घटाकर निकालते हैं। पहले दो पदों का अंतर (x+3)−(x−5)=x+3−x+5=8 है। अंतिम दो पदों का अंतर (x+19)−(x+11)=x+19−x−11=8 है। दोनों गणनाओं में x के पद कट जाते हैं और समान स्थिर मान 8 बचता है। इसलिए यह श्रेणी 8 के सामान्य अंतर वाली AP है और विकल्प A सही है। बीच के क्रमागत पदों के लिए भी (x+11)−(x+3)=8 ही प्राप्त होगा, जिससे निष्कर्ष की पुष्टि होती है। विकल्प C और D में x को कटने के बाद भी रखा गया है, जबकि विकल्प B किसी भी सही घटाव से प्राप्त नहीं होता। मुख्य विचार यह है कि चर वाले पदों को घटाते समय समान चर-पद समाप्त हो सकते हैं और स्थिर सामान्य अंतर मिल सकता है।
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