For which value of k will (k−3, k+2, 2k+1) be in an arithmetic progression?किस k के लिए (k−3, k+2, 2k+1) अंकगणितीय श्रेणी में होंगे?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 66
The governing concept is the middle-term condition for three consecutive terms of an arithmetic progression: twice the middle term equals the sum of the first and third terms. Therefore, 2(k + 2) = (k − 3) + (2k + 1). On simplifying, 2k + 4 = 3k − 2, so k = 6. Substitution provides an independent check: the three terms become 3, 8, and 13. Their consecutive differences are 8 − 3 = 5 and 13 − 8 = 5, so the difference is constant and the sequence is an AP. Hence option C is correct. Values such as 5 or 7 can result from an algebraic sign or rearrangement error, but they do not make both consecutive differences equal.तीन क्रमागत पदों के अंकगणितीय श्रेणी बनाने की मुख्य शर्त है कि मध्य पद का दुगुना, पहले और तीसरे पद के योग के बराबर हो। इसलिए 2(k + 2) = (k − 3) + (2k + 1) लिखेंगे। सरलीकरण करने पर 2k + 4 = 3k − 2 मिलता है, अतः k = 6। अब स्वतंत्र रूप से जाँच करें: k = 6 रखने पर पद 3, 8 और 13 प्राप्त होते हैं। इनके क्रमागत अंतर 8 − 3 = 5 तथा 13 − 8 = 5 हैं, इसलिए अंतर समान है और पद AP बनाते हैं। इस कारण विकल्प C सही है। 5 या 7 जैसे मान चिह्न अथवा समीकरण को इधर-उधर करने की गलती से मिल सकते हैं, लेकिन उनसे दोनों क्रमागत अंतर समान नहीं होते।
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