Why is (1,3,6,10,\ldots) not an arithmetic progression?अनुक्रम (1,3,6,10,\ldots) अंकगणितीय श्रेणी क्यों नहीं है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: Because consecutive differences are not equalक्योंकि क्रमागत अंतर समान नहीं हैं
An arithmetic progression is a sequence in which the difference between every pair of consecutive terms is the same constant. The terms may increase or decrease, but equal spacing is the essential requirement. In the sequence \(1,3,6,10,\ldots\), the first difference is \(3-1=2\), the next is \(6-3=3\), and the next is \(10-6=4\). Since these differences are not equal, the sequence is not an arithmetic progression.
Therefore, option C is correct. The fact that the terms increase does not by itself make a sequence an AP; for example, increasing differences can still occur. The first term being 1 is irrelevant, and an AP does not need a displayed final term because it may continue indefinitely. The decisive test is equality of consecutive differences.अंकगणितीय श्रेणी वह अनुक्रम है जिसमें प्रत्येक दो क्रमागत पदों का अंतर एक ही निश्चित संख्या होता है। पदों का बढ़ना या घटना पर्याप्त नहीं है; उनके बीच समान अंतर होना आवश्यक है। अनुक्रम \(1,3,6,10,\ldots\) में क्रमागत अंतर \(3-1=2\), \(6-3=3\) और \(10-6=4\) हैं। ये अंतर समान नहीं हैं, इसलिए यह अंकगणितीय श्रेणी नहीं है।
अतः सही विकल्प C है। केवल पदों के बढ़ते जाने से कोई अनुक्रम AP नहीं बनता, क्योंकि बढ़ते पदों के बीच अंतर अलग-अलग हो सकते हैं। पहला पद 1 होना इस निर्णय को प्रभावित नहीं करता। इसी तरह अंतिम पद लिखा होना भी आवश्यक नहीं है, क्योंकि श्रेणी आगे चल सकती है। यहां निर्णायक बात केवल यह है कि क्रमागत अंतर समान नहीं हैं।
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