If the sum of the first n even natural numbers is 420, what is the value of n?यदि पहली n सम प्राकृतिक संख्याओं का योग 420 है, तो n का मान क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 2020
The governing concept is the sum of the first n terms of an arithmetic progression. The first n even natural numbers are 2, 4, 6, ..., 2n. Factoring out 2 gives their sum as 2(1+2+...+n). Since 1+2+...+n = n(n+1)/2, the required sum is n(n+1). Therefore n(n+1)=420. We need two consecutive positive integers whose product is 420; 20×21=420, so n=20. A direct check also confirms that the twentieth even number is 40 and the sum of the first 20 even numbers is 20×21=420. Thus option C is correct. Options A, B, and D give 342, 380, and 462 respectively, so none of them satisfies the condition.यह प्रश्न समांतर श्रेणी के पहले n पदों के योग की अवधारणा पर आधारित है। पहली n सम प्राकृतिक संख्याएँ 2, 4, 6, ..., 2n होती हैं। इसलिए इनका योग 2(1+2+...+n) होगा। ज्ञात है कि 1+2+...+n = n(n+1)/2, अतः सम संख्याओं का योग n(n+1) बन जाता है। दिए गए योग के अनुसार n(n+1)=420। अब 420 को दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों के गुणनफल के रूप में लिखने पर 20×21=420 मिलता है। इसलिए n=20 और विकल्प C सही है। जाँच के लिए पहले 20 सम संख्याओं का अंतिम पद 40 है तथा उनका योग 20×21=420 आता है। विकल्प A, B और D के लिए क्रमशः 342, 380 और 462 मिलते हैं, इसलिए वे गलत हैं।
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