An arithmetic progression (AP) has first term \(a\) and common difference \(d\). Which formula correctly represents the sum \(S_n\) of its first \(n\) terms?किसी समांतर श्रेणी (AP) का प्रथम पद \(a\) तथा सार्वांतर \(d\) है। उसके पहले \(n\) पदों के योग \(S_n\) का सही सूत्र कौन-सा है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\)\(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\)
The \(n\)th term of an AP is \(a+(n-1)d\). Therefore, the average of the first and last terms is \(\frac{a+[a+(n-1)d]}{2}\). Multiplying this by \(n\) gives \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\). Option B is only the \(n\)th term, while option C incorrectly uses \(nd\) instead of \((n-1)d\). Exam tip: always check the \((n-1)d\) factor for the last term.AP का \(n\)वाँ पद \(a+(n-1)d\) होता है। अतः प्रथम और अंतिम पद का औसत \(\frac{a+[a+(n-1)d]}{2}\) होगा। इसे \(n\) से गुणा करने पर \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) मिलता है। विकल्प B केवल \(n\)वाँ पद देता है, जबकि विकल्प C में \((n-1)d\) के स्थान पर गलत रूप से \(nd\) है। परीक्षा टिप: योग के सूत्र में अंतिम पद के लिए हमेशा \((n-1)d\) जाँचें।
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