If an arithmetic progression has first term \(a\), common difference \(d\), and \(n\) terms, which is the correct formula for the sum \(S_n\) of its first \(n\) terms?यदि किसी समांतर श्रेणी का प्रथम पद \(a\), सार्वांतर \(d\) और पदों की संख्या \(n\) हो, तो उसके पहले \(n\) पदों के योग \(S_n\) का सही सूत्र कौन-सा है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\)\(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\)
The nth, or last, term of the AP is \(l=a+(n-1)d\). Substituting this in \(S_n=\frac{n}{2}(a+l)\) gives \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\). Option B is only the formula for the nth term, not the sum, while option C incorrectly uses \(nd\) in place of \((n-1)d\). Exam tip: always check both the factor \(n\) and \((n-1)d\) in the sum formula.समांतर श्रेणी का \(n\)वाँ (अंतिम) पद \(l=a+(n-1)d\) होता है। अतः \(S_n=\frac{n}{2}(a+l)\) में \(l\) रखने पर \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) मिलता है। विकल्प B केवल \(n\)वाँ पद बताता है, योग नहीं; विकल्प C में \((n-1)d\) के स्थान पर गलत रूप से \(nd\) है। परीक्षा टिप: योग के सूत्र में \(n\) का गुणनखंड और \((n-1)d\) दोनों अवश्य जाँचें।
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