If (S_n=9n-3n^2), what is the maximum value of the sum of initial terms?यदि (S_n=9n-3n^2) है तो आरम्भिक पदों के योग का अधिकतम मान क्या होगा?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (6)(6)
The direct answer is A, 6. The given expression is S_n=9n-3n^2, where n is a positive integer because it counts terms. Calculate successive values: S_1=9(1)-3(1)^2=6; S_2=18-12=6; S_3=27-27=0; S_4=36-48=-12. After this the negative quadratic term makes the values smaller. Another way is to complete the square: S_n=-3n^2+9n=-3(n-3/2)^2+27/4. The real-valued peak is near n=1.5, so among positive integers n=1 and n=2 give the largest integer value, 6. Option A is correct. Option B, 9, is not the value of S_1 or S_2; it is also below neither? Actually the formula gives no 9 for a positive integer n. Option C, 12, is not obtained; S_2 is 6 and S_3 is 0. Option D, 15, is likewise impossible and ignores the negative quadratic term. A common mistake is to use the continuous maximum 27/4 as the answer, but n must be an integer. Memory cue: for a negative quadratic, check nearby integer values around its vertex.सीधा उत्तर A, 6 है। यहाँ S_n=9n-3n^2 है और n धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए, क्योंकि n पदों की संख्या बताता है। क्रम से जाँचें: S_1=9(1)-3(1)^2=6; S_2=18-12=6; S_3=27-27=0; S_4=36-48=-12। इसके बाद ऋणात्मक 3n^2 वाला भाग बढ़ता जाता है, इसलिए योग और छोटा होता जाता है। दूसरे तरीके से S_n=-3n^2+9n=-3(n-3/2)^2+27/4 लिखा जा सकता है। इसका वास्तविक चरम n=1.5 के पास है; निकटतम धनात्मक पूर्णांक n=1 और n=2 हैं, और दोनों पर अधिकतम पूर्णांक मान 6 मिलता है। A सही है। B यानी 9 किसी धनात्मक पूर्णांक n पर इस सूत्र से नहीं मिलता। C यानी 12 भी नहीं मिलता; n=2 पर योग केवल 6 और n=3 पर 0 है। D यानी 15 भी असंभव है और ऋणात्मक वर्ग पद के प्रभाव को अनदेखा करता है। सावधानी: 27/4 को उत्तर न चुनें, क्योंकि n पूर्णांक होना चाहिए। याद रखें: ऋणात्मक द्विघात में शीर्ष के आसपास के निकटतम पूर्णांक मान जाँचें।
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