The sum of the first n terms of an arithmetic progression is S_n = n(4n − 1). What is the 20th term?किसी समान्तर श्रेणी के पहले n पदों का योग S_n = n(4n − 1) है। 20वाँ पद क्या होगा?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 155155
Answer: B, 155. The sum S_n is cumulative, not the nth term itself. Since S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n and S_{n−1} = a_1 + ... + a_{n−1}, subtracting gives a_n = S_n − S_{n−1}. Calculate S_20 = 20(4×20 − 1) = 20(80 − 1) = 20×79 = 1580. Calculate S_19 = 19(4×19 − 1) = 19(76 − 1) = 19×75 = 1425. Therefore a_20 = 1580 − 1425 = 155. Hence option B is correct. Option A, C, and D do not result from the correct difference of consecutive partial sums. A frequent mistake is to call S_20, which equals 1580, the 20th term; it is actually the total of the first twenty terms. Memory cue: a term is the “new amount” added when moving from S_{n−1} to S_n.उत्तर: B, 155। S_n संचयी योग है, स्वयं nवाँ पद नहीं। क्योंकि S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n और S_{n−1} = a_1 + ... + a_{n−1}, इसलिए दोनों का अंतर केवल nवाँ पद देता है: a_n = S_n − S_{n−1}। अब S_20 = 20(4×20 − 1) = 20(80 − 1) = 20×79 = 1580। इसी प्रकार S_19 = 19(4×19 − 1) = 19(76 − 1) = 19×75 = 1425। अतः a_20 = 1580 − 1425 = 155। इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प A, C और D लगातार आंशिक योगों के सही अंतर से प्राप्त नहीं होते। S_20 = 1580 को सीधे 20वाँ पद मानना सामान्य गलती है; 1580 पहले 20 पदों का कुल योग है। याद रखें: S_n से S_{n−1} तक बढ़ने पर जो नया भाग जुड़ता है, वही a_n होता है।
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