If the sum of the first n terms of an arithmetic progression is S_n = 8n² − 3n, find the sum of the 51st term to the 70th term.यदि किसी समांतर श्रेढ़ी के प्रथम n पदों का योग S_n = 8n² − 3n है, तो 51वें पद से 70वें पद तक का योग ज्ञात कीजिए।
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 19,14019,140
The governing rule for a consecutive range is that the sum from the rth through the sth term equals S_s − S_{r−1}. Thus the sum from the 51st to the 70th term is S_70 − S_50. Calculate S_70 = 8(70²) − 3(70) = 8(4900) − 210 = 38,990. Next, S_50 = 8(50²) − 3(50) = 8(2500) − 150 = 19,850. The required sum is therefore 38,990 − 19,850 = 19,140. Hence option D is correct. Subtracting S_51 would exclude the 51st term, while using an incorrect square or sign would produce the other choices. The endpoint rule ensures that exactly terms 51 through 70 are included.लगातार पदों की किसी सीमा का योग निकालने का नियम है कि rवें से sवें पद तक का योग S_s − S_{r−1} होता है। इसलिए 51वें से 70वें पद तक का योग S₇₀ − S₅₀ होगा। अब S₇₀ = 8(70²) − 3(70) = 8 × 4900 − 210 = 38,990 और S₅₀ = 8(50²) − 3(50) = 8 × 2500 − 150 = 19,850। अतः आवश्यक योग = 38,990 − 19,850 = 19,140 है। इसलिए विकल्प D सही है। यदि S₅₁ घटाया जाए, तो 51वाँ पद भी हट जाएगा और सीमा गलत हो जाएगी। वर्ग निकालने, ऋण चिह्न लगाने या घटाव करने की गलती से अन्य विकल्प मिल सकते हैं। S₅₀ घटाने से ठीक 51वें से 70वें पद तक के सभी पद शामिल होते हैं।
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