If the sum of an AP is S_n = 6n² + n, find the sum from the 31st term to the 45th term.यदि किसी समांतर श्रेढ़ी का आंशिक योग S_n = 6n² + n है, तो 31वें पद से 45वें पद तक का योग ज्ञात कीजिए।
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 67656765
Answer: D, 6765. S_n denotes the sum of the first n terms. To add terms from the rth through the sth term, subtract the sum before the rth term: S_s − S_{r−1}. Therefore, the required sum is S_45 − S_30, because the 31st term must be included and the first 30 terms must be removed. Calculate S_45 = 6(45²) + 45 = 6(2025) + 45 = 12,150 + 45 = 12,195. Next, S_30 = 6(30²) + 30 = 6(900) + 30 = 5,400 + 30 = 5,430. Thus the required sum is 12,195 − 5,430 = 6,765. Option A, B, and C do not equal this difference. A common boundary mistake is to use S_45 − S_31; that removes the 31st term as well, giving the wrong range. Memory cue: for terms r to s, always write S_s − S_{r−1}.उत्तर: D, 6765। S_n का अर्थ पहले n पदों का योग है। rवें पद से sवें पद तक का योग निकालने के लिए rवें पद से पहले वाले सभी पदों का योग घटाया जाता है, इसलिए सूत्र S_s − S_{r−1} होता है। यहाँ 31वें से 45वें पद तक का योग S_45 − S_30 होगा, क्योंकि पहले 30 पद हटाने पर 31वाँ पद बचा रहता है। अब S_45 = 6(45²) + 45 = 6(2025) + 45 = 12,195 और S_30 = 6(30²) + 30 = 6(900) + 30 = 5,430। अतः आवश्यक योग = 12,195 − 5,430 = 6,765। इसलिए विकल्प D सही है। विकल्प A, B और C इस अंतर के बराबर नहीं हैं। S_45 − S_31 लिखना सामान्य गलती है, क्योंकि उससे 31वाँ पद भी निकल जाता है। याद रखें: r से s तक के लिए S_s − S_{r−1} लिखें।
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