In an AP, a = 5, and the sum from the 16th term to the 30th term is 1395. Find d.किसी समांतर श्रेणी में a = 5 है और 16वें पद से 30वें पद तक का योग 1395 है। d ज्ञात कीजिए।
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 44
Direct answer: d = 4, so option C is correct. The terms from the 16th through the 30th are counted inclusively, so their number is 30 − 16 + 1 = 15. The first term of this block is t₁₆ = a + 15d = 5 + 15d, and the last is t₃₀ = a + 29d = 5 + 29d. Apply the AP sum formula to these 15 terms: 1395 = 15/2[(5 + 15d) + (5 + 29d)] = 15/2(10 + 44d) = 75 + 330d. Hence 330d = 1320 and d = 4. Option C is correct. Option A, 2, option B, 3, and option D, 5, do not satisfy the given sum when substituted. A common mistake is to count 14 rather than 15 terms by forgetting the +1 in 30 − 16 + 1. Another valid approach is to write the required sum as S₃₀ − S₁₅. Memory cue: whenever both endpoints are included, number of terms = last index − first index + 1.सीधा उत्तर: d = 4, इसलिए विकल्प C सही है। 16वें से 30वें पद तक दोनों सिरों के पद शामिल हैं, इसलिए पदों की संख्या 30 − 16 + 1 = 15 होगी। इस समूह का पहला पद t₁₆ = a + 15d = 5 + 15d और अंतिम पद t₃₀ = a + 29d = 5 + 29d है। अब इन 15 पदों के योग का सूत्र लगाएँ: 1395 = 15/2[(5 + 15d) + (5 + 29d)] = 15/2(10 + 44d) = 75 + 330d। इसलिए 330d = 1320 और d = 4। अतः विकल्प C सही है। विकल्प A का 2, विकल्प B का 3 और विकल्प D का 5 रखने पर योग 1395 नहीं आएगा। सामान्य गलती 30 − 16 = 14 करके एक पद कम गिनना है; दोनों अंतिम पद शामिल होने पर हमेशा +1 लगाएँ। यही प्रश्न S₃₀ − S₁₅ का उपयोग करके भी हल किया जा सकता है। याद रखें: शामिल पदों की संख्या = अंतिम सूचकांक − प्रारंभिक सूचकांक + 1।
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