In an AP, d = −9 and S₃₁ = 0. What is the first term a?किसी समांतर श्रेणी में d = −9 और S₃₁ = 0 है। पहला पद a क्या होगा?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 135135
Direct answer: 135, so option B is correct. Use Sₙ = n/2[2a + (n − 1)d]. Here n = 31, d = −9, and S₃₁ = 0. Therefore 0 = 31/2[2a + 30(−9)] = 31/2(2a − 270). Since 31/2 is not zero, the bracket must be zero: 2a − 270 = 0, so 2a = 270 and a = 135. Option B is correct. Option A, 126, option C, 144, and option D, 153, would leave the bracket nonzero and hence would not make S₃₁ equal to zero. A conceptual check is useful: 31 is odd, so the 16th term is the middle term. In an odd-numbered AP, symmetric terms have sums twice the middle term; for the total to be zero, the middle term must be zero. Thus a + 15d = 0, giving a − 135 = 0 and a = 135. Memory cue: for an odd number of AP terms with zero sum, the middle term is zero.सीधा उत्तर: 135, इसलिए विकल्प B सही है। समांतर श्रेणी के योग का सूत्र Sₙ = n/2[2a + (n − 1)d) है। यहाँ n = 31, d = −9 और S₃₁ = 0 हैं। अतः 0 = 31/2[2a + 30(−9)] = 31/2(2a − 270)। क्योंकि 31/2 शून्य नहीं है, इसलिए कोष्ठक का मान शून्य होगा: 2a − 270 = 0। इससे 2a = 270 और a = 135 मिलता है। अतः विकल्प B सही है। विकल्प A का 126, विकल्प C का 144 और विकल्प D का 153 रखने पर कोष्ठक शून्य नहीं होगा, इसलिए योग शून्य नहीं आएगा। वैचारिक जाँच भी करें: 31 पद विषम संख्या है, इसलिए 16वाँ पद मध्य पद होगा। विषम संख्या वाले AP में सममित पदों के युग्मों का योग मध्य पद पर निर्भर करता है; कुल योग शून्य होने के लिए मध्य पद शून्य होना चाहिए। इसलिए a + 15d = 0, अर्थात a − 135 = 0 और a = 135। याद रखें: विषम संख्या के AP का योग शून्य हो तो मध्य पद शून्य होता है।
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