In an AP, (S_{12}=438) and (S_{24}=1596). Find the value of (S_{36}).किसी समांतर श्रेढ़ी में (S_{12}=438) और (S_{24}=1596) है। (S_{36}) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (3474)(3474)
For an arithmetic progression with first term a and common difference d, the sum formula is \\(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\\). Using \\(S_{12}=438\\) gives \\(2a+11d=73\\), and using \\(S_{24}=1596\\) gives \\(2a+23d=133\\). Subtracting these equations gives \\(12d=60\\), so \\(d=5\\). Then \\(2a+55=73\\), hence \\(a=9\\).
Now apply the same formula at n=36: \\(S_{36}=\frac{36}{2}[2(9)+35(5)]\\=18(18+175)=18(193)=3474\\). Therefore option A is correct. The important step is to determine the progression from the two given partial sums before calculating the requested sum.समांतर श्रेढ़ी में प्रथम पद a और सार्व अंतर d हो, तो \\(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\\) होता है। \\(S_{12}=438\\) से \\(2a+11d=73\\) मिलता है और \\(S_{24}=1596\\) से \\(2a+23d=133\\) मिलता है। दोनों समीकरण घटाने पर \\(12d=60\\), इसलिए \\(d=5\\)। अब \\(2a+55=73\\), अतः \\(a=9\\)।
अब n=36 रखने पर \\(S_{36}=\frac{36}{2}[2(9)+35(5)]\\=18(18+175)=18\times193=3474\\)। इसलिए विकल्प A सही है। पहले दो दिए गए आंशिक योगों से प्रथम पद और सार्व अंतर निकालना आवश्यक है; उसके बाद ही 36 पदों का योग सही ढंग से प्राप्त होता है।
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