If the sum of the first n terms of an AP is Sₙ = 4n² − 3n, find the sum of the terms from the 12th term to the 20th term, inclusive.यदि किसी समांतर श्रेढ़ी के पहले n पदों का योग Sₙ = 4n² − 3n है, तो 12वें पद से 20वें पद तक, दोनों पदों सहित, का योग ज्ञात कीजिए।
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 10891089
The governing concept is the difference of partial sums. For any sequence, the sum from the rth term through the sth term is S_s − S_(r−1), because the earlier terms cancel. Thus the required sum is S_20 − S_11. From S_n = 4n² − 3n, S_20 = 4(20²) − 3(20) = 1600 − 60 = 1540, and S_11 = 4(11²) − 3(11) = 484 − 33 = 451. Therefore, the required sum is 1540 − 451 = 1089, so option D is correct. Subtracting S_12 would omit the twelfth term, while subtracting S_10 would include the eleventh term, explaining why careful indexing is essential.मुख्य अवधारणा आंशिक योगों के अंतर से किसी सीमित खंड का योग निकालना है। किसी भी अनुक्रम में rवें पद से sवें पद तक का योग Sₛ − Sᵣ₋₁ होता है, क्योंकि पहले के पद घटाने पर केवल इच्छित पद बचते हैं। इसलिए यहाँ आवश्यक योग S₂₀ − S₁₁ है। दिए गए सूत्र से S₂₀ = 4(20²) − 3(20) = 1600 − 60 = 1540 तथा S₁₁ = 4(11²) − 3(11) = 484 − 33 = 451। अतः 12वें से 20वें पद तक का योग 1540 − 451 = 1089 है और सही उत्तर विकल्प D है। यदि S₁₂ घटाया जाए, तो 12वाँ पद छूट जाएगा; यदि S₁₀ घटाया जाए, तो 11वाँ पद भी शामिल हो जाएगा। इसलिए सीमाओं के सूचकांकों पर विशेष ध्यान देना आवश्यक है।
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