In the AP 5, 9, 13, ..., how many first terms have sum 434?समांतर श्रेणी 5, 9, 13, ... के पहले कितने पदों का योग 434 होगा?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 1414
Direct answer: 14 terms, so option C is correct. The sequence is an arithmetic progression because consecutive terms differ by 4: 9 − 5 = 4 and 13 − 9 = 4. Thus a = 5 and d = 4. The sum of the first n terms is Sₙ = n/2[2a + (n − 1)d]. Substitution gives 434 = n/2[10 + 4(n − 1)] = n/2(4n + 6) = n(2n + 3). Hence 2n² + 3n − 434 = 0. Factorising gives (n − 14)(2n + 31) = 0, so n = 14 or n = −31/2. A number of terms must be a positive integer, so n = 14. Option A, 12, option B, 13, and option D, 15, do not produce a sum of 434 when substituted into the formula. Verification: the 14th term is 5 + 13×4 = 57, and S₁₄ = 14/2(5 + 57) = 434. Memory cue: identify a and d first, then use the sum formula, and reject nonpositive roots.सीधा उत्तर: 14 पद, इसलिए विकल्प C सही है। यह समांतर श्रेणी है क्योंकि लगातार पदों का अंतर समान है: 9 − 5 = 4 और 13 − 9 = 4। अतः पहला पद a = 5 और सार्व अंतर d = 4 है। पहले n पदों का योग Sₙ = n/2[2a + (n − 1)d] होता है। अब 434 = n/2[10 + 4(n − 1)] = n/2(4n + 6) = n(2n + 3)। इसलिए 2n² + 3n − 434 = 0। इसका गुणनखंड (n − 14)(2n + 31) = 0 है, इसलिए n = 14 या n = −31/2। पदों की संख्या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए, अतः n = 14 स्वीकार्य है। विकल्प A के 12, विकल्प B के 13 और विकल्प D के 15 को सूत्र में रखने पर योग 434 नहीं आता। जाँच के लिए 14वाँ पद 5 + 13×4 = 57 है और S₁₄ = 14/2(5 + 57) = 434 मिलता है। याद रखें: पहले a और d पहचानें, फिर योग का सूत्र लगाएँ और ऋणात्मक या अपूर्णांक पद-संख्या को अस्वीकार करें।
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