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SubjectsMathematics
In this Class 10 Mathematics topic from Arithmetic Progressions (AP), students learn how to find the sum of the first n terms of an arithmetic progression. They identify the first term, common difference, and number of terms, then apply the formulas Sₙ = n/2 [2a + (n−1)d] and Sₙ = n/2(a + l) when the last term is known. Examples help learners solve numerical problems, verify results, and understand the pattern behind sums in an AP.
Hard · Level 3 · 25 questions
TOPIC PRACTICE
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The numbers are (210,224,\ldots,798), and their sum is (21672). Choose the first and last multiples within the limits correctly.संख्याएँ (210,224,\ldots,798) हैं और उनका योग (21672) है। सीमा के अंदर पहला और अंतिम गुणज सही चुनें।
This is an AP with (a=2200), (d=175), (n=24), and the total is (101100). In word problems, treat each amount as a term.यह (a=2200), (d=175), (n=24) वाली श्रेढ़ी है और कुल योग (101100) है। शब्द-प्रश्न में राशि को पद मानें।
The first number is (102), the last is (986), and there are (53) terms, so the sum is (28832). In divisibility questions, choose the first and last values carefully.पहली संख्या (102), अंतिम (986) और कुल (53) पद हैं, इसलिए योग (28832) है। विभाज्यता वाले प्रश्नों में पहला और अंतिम मान सावधानी से चुनें।
The direct answer is option C, 900. An arithmetic progression (AP) changes by the same amount each time. Here the common difference is d=113-120=-7, so the terms decrease by 7. For the first n terms, use S_n=n/2[2a+(n-1)d]. Thus S_25=25/2[2(120)+24(-7)]=25/2(240-168)=25/2(72)=900. Equivalently, the 25th term is 120+24(-7)=-48, so S_25=25/2(120-48)=900. Option A, 850, is too small and results from an incorrect final term or arithmetic. Option B, 875, is also not the calculated total. Option C, 900, matches both correct methods. Option D, 925, is too large. A negative common difference must be retained; changing it to +7 is a common mistake. Memory cue: decreasing AP means d is negative, but the sum formula remains unchanged.सीधा उत्तर विकल्प C, 900 है। समांतर श्रेढ़ी में हर दो क्रमिक पदों का अंतर समान होता है। यहाँ सार्व अंतर d=113-120=-7 है, इसलिए पद हर बार 7 घटते हैं। पहले n पदों के लिए सूत्र S_n=n/2[2a+(n-1)d] है। इसलिए S_25=25/2[2(120)+24(-7)]=25/2(240-168)=25/2(72)=900। दूसरे तरीके से 25वाँ पद 120+24(-7)=-48 है और योग 25/2(120-48)=900 मिलता है। विकल्प A, 850, गलत गणना से मिला छोटा योग है। विकल्प B, 875 भी सही सूत्र से नहीं आता। विकल्प C, 900 दोनों विधियों से सही है। विकल्प D, 925 अपेक्षा से बड़ा है। घटती श्रेढ़ी में d को धनात्मक लिखना सामान्य गलती है। याद रखें: श्रेढ़ी घटे तो d ऋणात्मक होगा, पर योग का सूत्र वही रहेगा।
The notation gives the sum of the first n terms as \\(S_n=5n^2-2n\\). To add terms from the 26th through the 40th, use the total through the 40th term and remove the total through the 25th term. This works because the first 25 terms end immediately before the 26th term, so no required term is lost or counted twice.
Calculate \\(S_{40}=5(40)^2-2(40)=8000-80=7920\\). Next, \\(S_{25}=5(25)^2-2(25)=3125-50=3075\\). Therefore the required sum is \\(S_{40}-S_{25}=7920-3075=4845\\). Hence option D follows. Subtracting \\(S_{26}\\) would be wrong because the 26th term must be included.दिया गया है कि पहले n पदों का योग \\(S_n=5n^2-2n\\) है। 26वें से 40वें पद तक का योग निकालने के लिए 40वें पद तक का कुल योग लेकर 25वें पद तक का योग घटाते हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि 25वां पद, 26वें पद से ठीक पहले समाप्त होता है; इसलिए सभी आवश्यक पद एक बार ही बचते हैं।
अब \\(S_{40}=5(40)^2-2(40)=8000-80=7920\\) और \\(S_{25}=5(25)^2-2(25)=3125-50=3075\\)। अतः मांगा गया योग \\(S_{40}-S_{25}=7920-3075=4845\\) है। इसलिए विकल्प D सही है। \\(S_{26}\\) घटाना गलत होगा, क्योंकि 26वां पद योग में शामिल होना चाहिए।
For an arithmetic progression with first term a and common difference d, the sum formula is \\(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\\). Using \\(S_{12}=438\\) gives \\(2a+11d=73\\), and using \\(S_{24}=1596\\) gives \\(2a+23d=133\\). Subtracting these equations gives \\(12d=60\\), so \\(d=5\\). Then \\(2a+55=73\\), hence \\(a=9\\).
Now apply the same formula at n=36: \\(S_{36}=\frac{36}{2}[2(9)+35(5)]\\=18(18+175)=18(193)=3474\\). Therefore option A is correct. The important step is to determine the progression from the two given partial sums before calculating the requested sum.समांतर श्रेढ़ी में प्रथम पद a और सार्व अंतर d हो, तो \\(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\\) होता है। \\(S_{12}=438\\) से \\(2a+11d=73\\) मिलता है और \\(S_{24}=1596\\) से \\(2a+23d=133\\) मिलता है। दोनों समीकरण घटाने पर \\(12d=60\\), इसलिए \\(d=5\\)। अब \\(2a+55=73\\), अतः \\(a=9\\)।
अब n=36 रखने पर \\(S_{36}=\frac{36}{2}[2(9)+35(5)]\\=18(18+175)=18\times193=3474\\)। इसलिए विकल्प A सही है। पहले दो दिए गए आंशिक योगों से प्रथम पद और सार्व अंतर निकालना आवश्यक है; उसके बाद ही 36 पदों का योग सही ढंग से प्राप्त होता है।
The direct answer is option C, 1462. The first term is a=14, the common difference is d=23-14=9, and n=17. Use S_n=n/2[2a+(n-1)d]. Therefore S_17=17/2[2(14)+16(9)]=17/2(28+144)=17/2(172)=17(86)=1462. The last term check gives l=14+16(9)=158, and S_17=17/2(14+158)=17/2(172)=1462. Option A, 1411, is not obtained from the AP formula. Option B, 1436, is also numerically incorrect. Option C, 1462, is correct because it uses all 17 terms and their average, 86. Option D, 1488, is too large. An odd number of terms causes no difficulty; the same sum formula works for odd and even n. Exam cue: find a, d, and n carefully before substituting.सीधा उत्तर विकल्प C, 1462 है। पहला पद a=14, सार्व अंतर d=23-14=9 और पदों की संख्या n=17 है। सूत्र S_n=n/2[2a+(n-1)d] लगाने पर S_17=17/2[2(14)+16(9)]=17/2(28+144)=17/2(172)=17×86=1462। जाँच के लिए अंतिम पद l=14+16×9=158 है; इसलिए योग 17/2(14+158)=1462 आता है। विकल्प A, 1411, सही सूत्र से प्राप्त नहीं होता। विकल्प B, 1436 भी गलत संख्यात्मक परिणाम है। विकल्प C, 1462 सही है, क्योंकि यह सभी 17 पदों और उनका औसत 86 लेकर निकला है। विकल्प D, 1488 बहुत बड़ा है। पदों की संख्या विषम होने से कोई समस्या नहीं होती; यही सूत्र विषम और सम दोनों n के लिए लागू होता है। परीक्षा संकेत: पहले a, d और n पहचानें, फिर सूत्र में रखें।
Use the sum formula \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\). Thus, \(1512=\frac{18}{2}[2a+17\times6]=9(2a+102)\). Hence \(2a+102=168\), so \(2a=66\) and \(a=33\). If 30 were used as the first term, the sum would be 1458, so it is not correct. Exam tip: In the formula, use \((n-1)d\), not \(nd\).समांतर श्रेणी के पहले n पदों के योग का सूत्र है: \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\)। अतः \(1512=\frac{18}{2}[2a+17\times6]=9(2a+102)\)। इसलिए \(2a+102=168\), जिससे \(2a=66\) और \(a=33\) मिलता है। विकल्प 30 लेने पर योग 1458 आएगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: \((n-1)d\) में n के स्थान पर गलती से n न रखें।
The numbers are (105,135,\ldots,975), and their sum is (16200). In this condition, the new AP has common difference (30).संख्याएँ (105,135,\ldots,975) हैं और उनका योग (16200) है। ऐसी शर्त में नई श्रेढ़ी का अंतर (30) हो जाता है।
The first multiple is (91), the last is (598), and there are (40) terms, so the sum is (13780). Choose the first term according to the range carefully.पहला गुणज (91), अंतिम (598) और कुल (40) पद हैं, इसलिए योग (13780) है। सीमा के अनुसार पहला पद ध्यान से चुनें।
The sum from the 10th term through the 18th term can be obtained by removing the first nine terms from the sum of the first eighteen terms. In symbols, the required range is \(a_{10}+a_{11}+\cdots+a_{18}=S_{18}-S_9\). The given values are \(S_{18}=810\) and \(S_9=270\), so substitution gives \(810-270=540\). There are nine terms in this range, but no common difference or individual terms are needed because the two partial sums already contain exactly the required information.
Thus option D, 540, is correct. A frequent mistake is to subtract \(S_8\), which would include only terms 9 through 18, or to subtract \(S_{10}\), which would remove the 10th term as well. Since the requested sequence begins immediately after the first nine terms, \(S_{18}-S_9\) is the precise calculation.10वें पद से 18वें पद तक का योग, पहले 18 पदों के योग में से पहले 9 पदों का योग घटाकर निकाला जा सकता है। गणितीय रूप में यह \(a_{10}+a_{11}+\cdots+a_{18}=S_{18}-S_9\) है। दिए गए मान \(S_{18}=810\) और \(S_9=270\) हैं। इसलिए आवश्यक योग \(810-270=540\) होगा। इस सीमा में नौ पद हैं, पर सार्व अंतर या अलग-अलग पद निकालने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि दिए गए आंशिक योग पर्याप्त हैं।
अतः विकल्प D, अर्थात 540, सही है। यदि \(S_8\) घटाएँगे तो 9वें पद से योग शुरू हो जाएगा और सीमा गलत हो जाएगी। यदि \(S_{10}\) घटाएँगे तो 10वाँ पद भी निकल जाएगा। चूँकि माँगी गई श्रेणी पहले नौ पदों के तुरंत बाद शुरू होती है, इसलिए सही गणना केवल \(S_{18}-S_9\) है।
To find the nth term from the sum of an AP, use \(a_n=S_n-S_{n-1}\). Thus, \(a_{22}=S_{22}-S_{21}\). Here, \(S_{22}=3(22)^2+5(22)=1562\) and \(S_{21}=3(21)^2+5(21)=1428\). Therefore, \(a_{22}=1562-1428=134\). Option 131 is not correct because it does not result from the correct difference between \(S_{22}\) and \(S_{21}\). Exam tip: When \(S_n\) is given, obtain the nth term by subtracting \(S_{n-1}\) from \(S_n\).किसी समांतर श्रेणी का nवाँ पद ज्ञात करने के लिए सूत्र \(a_n=S_n-S_{n-1}\) प्रयोग करते हैं। अतः \(a_{22}=S_{22}-S_{21}\)। यहाँ \(S_{22}=3(22)^2+5(22)=1562\) और \(S_{21}=3(21)^2+5(21)=1428\) है। इसलिए \(a_{22}=1562-1428=134\)। विकल्प 131 सही नहीं है, क्योंकि वह \(S_{22}\) और \(S_{21}\) के सही अंतर से प्राप्त नहीं होता। परीक्षा टिप: जब \(S_n\) दिया हो, तो nवाँ पद पाने के लिए हमेशा \(S_n-S_{n-1}\) लें।
This is an AP with first term \(a=25\) and common difference \(d=5\). The 18th row has \(a_{18}=25+17\times5=110\) seats, and the 42nd row has \(a_{42}=25+41\times5=230\) seats. There are \(42-18+1=25\) rows from the 18th through the 42nd row. Hence, the sum is \(\frac{25}{2}(110+230)=4250\). An option such as 4175 can result from incorrectly counting the rows without including both end rows. Exam tip: for an inclusive range, use \(\text{last index}-\text{first index}+1\) for the number of terms.यह एक AP है, जिसमें प्रथम पद \(a=25\) और सार्वांतर \(d=5\) है। 18वीं पंक्ति में सीटें \(a_{18}=25+17\times5=110\) तथा 42वीं पंक्ति में \(a_{42}=25+41\times5=230\) होंगी। 18वीं से 42वीं पंक्ति तक कुल \(42-18+1=25\) पंक्तियाँ हैं। अतः योग \(\frac{25}{2}(110+230)=4250\) है। 4175 जैसे विकल्प में प्रायः पंक्तियों की संख्या गिनते समय दोनों अंतिम पंक्तियों को शामिल करने की गलती होती है। परीक्षा टिप: किसी भी सीमित पंक्ति-समूह के लिए पदों की संख्या हमेशा \(\text{अंतिम क्रमांक}-\text{प्रारम्भिक क्रमांक}+1\) लें।
Solving (\frac{n}{2}[22+7(n-1)]=1701) gives (n=21). The number of terms must be a positive integer.(\frac{n}{2}[22+7(n-1)]=1701) हल करने पर (n=21) मिलता है। पदों की संख्या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए।
The numbers are (11,19,\ldots,99), and the sum of (12) terms is (660). In remainder questions, the common difference equals the divisor.संख्याएँ (11,19,\ldots,99) हैं और (12) पदों का योग (660) है। शेष वाले प्रश्न में सार्व अंतर भाजक के बराबर होता है।
The direct answer is option B, 4810. Here a=-4, d=2-(-4)=6. We need terms 20 through 45, inclusive, so there are 45-20+1=26 terms. The 20th term is t_20=a+19d=-4+19(6)=110, and the 45th term is t_45=a+44d=-4+44(6)=260. Their sum is 26/2(110+260)=13(370)=4810. Equivalently, calculate S_45-S_19; subtracting through the 19th term removes exactly the first 19 terms. Option A, 4720, has an arithmetic error. Option B, 4810, uses the correct 26 terms and their average 185. Option C, 4900, and option D, 4990, are both too large and do not follow the endpoint calculation. Do not count 45-20 as the number of terms; add 1 for both endpoints.सीधा उत्तर विकल्प B, 4810 है। यहाँ a=-4 और d=2-(-4)=6 है। 20वें से 45वें पद तक दोनों सिरों सहित पद लेने हैं, इसलिए पदों की संख्या 45-20+1=26 होगी। 20वाँ पद t_20=a+19d=-4+19×6=110 और 45वाँ पद t_45=a+44d=-4+44×6=260 है। अतः योग 26/2(110+260)=13×370=4810 है। दूसरे तरीके से S_45-S_19 करने पर पहले 19 पद हट जाते हैं और वही परिणाम मिलता है। विकल्प A, 4720, गणना की गलती है। विकल्प B, 4810 सही है, क्योंकि इसमें 26 पदों का औसत 185 लिया गया है। विकल्प C, 4900 और विकल्प D, 4990 दोनों अपेक्षा से बड़े गलत परिणाम हैं। ध्यान रखें: दोनों अंतिम पद शामिल हों तो संख्या निकालने में 45-20 के बाद 1 जोड़ना आवश्यक है।
The expression \\(S_n=4n^2+n\\) gives the sum of the first \\(n\\) terms of the arithmetic progression. The sum from the 31st term through the 45th term is obtained by subtracting the sum through the 30th term from the sum through the 45th term. Thus the required quantity is \\(S_{45}-S_{30}\\), because this removes terms 1 through 30 and leaves terms 31 through 45.
Calculate \\(S_{45}=4(45)^2+45=4(2025)+45=8145\\). Also, \\(S_{30}=4(30)^2+30=4(900)+30=3630\\). Hence the required sum is \\(8145-3630=4515\\). Therefore option C is correct. The subtraction uses \\(S_{30}\\), not \\(S_{31}\\), because the 31st term must remain included.दिया गया \\(S_n=4n^2+n\\) इस समानांतर श्रेणी के पहले \\(n\\) पदों का योग है। 31वें पद से 45वें पद तक का योग निकालने के लिए 45 पदों के योग में से 30 पदों का योग घटाते हैं। इसलिए आवश्यक राशि \\(S_{45}-S_{30}\\) है, क्योंकि इससे पहले 30 पद हट जाते हैं और 31वें से 45वें पद तक के पद बचते हैं।
अब \\(S_{45}=4(45)^2+45=4(2025)+45=8145\\)। इसी प्रकार \\(S_{30}=4(30)^2+30=4(900)+30=3630\\)। अतः आवश्यक योग \\(8145-3630=4515\\) है। इसलिए विकल्प C सही है। \\(S_{31}\\) घटाना उचित नहीं होगा, क्योंकि तब 31वाँ पद भी हट जाएगा, जबकि उसे योग में शामिल करना है।
The given sums give (a=4) and (d=5), so (S_{30}=2295). First determine the AP from the two partial sums.दिए गए योगों से (a=4) और (d=5) मिलते हैं, इसलिए (S_{30}=2295) है। दो आंशिक योगों से पहले श्रेढ़ी तय करें।
From the two terms, (d=5) and (a=2), so (S_{30}=2235). First find (a,d), then apply the sum formula.दो पदों से (d=5) और (a=2) मिलते हैं, इसलिए (S_{30}=2235) है। पहले (a,d) निकालकर योग सूत्र लगाएँ।
The condition gives (6+8d=2(6+3d)), so (d=3) and (S_{25}=1050). Convert the term condition into an equation first.शर्त से (6+8d=2(6+3d)), इसलिए (d=3) और (S_{25}=1050) है। पदों की शर्त को पहले समीकरण में बदलें।
(S_{25}=2800) and (S_{26}=3029), so the sum first exceeds (3000) at (26) terms. In such questions, also check the previous sum.(S_{25}=2800) और (S_{26}=3029), इसलिए पहली बार (26) पदों पर योग (3000) से अधिक है। ऐसे प्रश्न में पिछले योग की भी जाँच करें।
The first term is (11), and the (60)th term is (365), so the sum is (11280). Finding the first and last terms from (a_n) is an easy method.पहला पद (11) और (60)वाँ पद (365) है, इसलिए योग (11280) है। (a_n) से पहले और अंतिम पद निकालना आसान तरीका है।
For an AP with an odd number of terms, let the middle term be \(m\). The sum of the first \(n\) terms is \(S_n=n m\). Since \(n\neq0\) and \(S_n=0\), \(m=0\). The common difference need not be zero. Exam tip: for odd terms, relate the sum directly to the middle term.विषम संख्या में पदों वाली AP में मध्य पद को \(m\) मानें। पहले \(n\) पदों का योग \(S_n=n m\) होता है। क्योंकि \(n\neq0\) और \(S_n=0\), इसलिए \(m=0\)। सार्वांतर शून्य होना आवश्यक नहीं है। परीक्षा टिप: विषम पदों में योग को मध्य पद से जोड़ें।
From (S_{15}=\frac{15}{2}(a+68)), (a=12), then (d=4) and (S_{30}=2100). Treat the given (n)th term as the last term.(S_{15}=\frac{15}{2}(a+68)) से (a=12), फिर (d=4) और (S_{30}=2100) है। दिए गए (n)वें पद को अंतिम पद की तरह लें।
Here the sum of the first n terms is given directly by \\(S_n=n(4n+3)\\). For a range beginning with the 21st term, subtract the sum of the first 20 terms from the sum of the first 35 terms. This leaves exactly terms 21 through 35, including both endpoints.
Calculate \\(S_{35}=35[4(35)+3]=35(140+3)=35(143)=5005\\). Also, \\(S_{20}=20[4(20)+3]=20(80+3)=20(83)=1660\\). Therefore the required sum is \\(S_{35}-S_{20}=5005-1660=3345\\). Hence option D is correct. The subtraction uses 20, not 21, because the 20th term is the last term that must be excluded.यहां पहले n पदों का योग सीधे \\(S_n=n(4n+3)\\) दिया गया है। 21वें से 35वें पद तक का योग निकालने के लिए 35वें पद तक के योग में से 20वें पद तक का योग घटाते हैं। इससे 1 से 20 तक के पद हट जाते हैं और 21 से 35 तक के सभी पद बचते हैं।
अब \\(S_{35}=35[4(35)+3]=35(140+3)=35\times143=5005\\)। इसी प्रकार \\(S_{20}=20[4(20)+3]=20(80+3)=20\times83=1660\\)। इसलिए आवश्यक योग \\(S_{35}-S_{20}=5005-1660=3345\\) है। अतः विकल्प D सही है। 21 नहीं, बल्कि 20 तक का योग घटाया जाता है, क्योंकि 20वां पद अंतिम बाहर रखा जाने वाला पद है।
