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SubjectsMathematics
In this Class 10 Mathematics topic from Arithmetic Progressions (AP), students learn how to find the sum of the first n terms of an arithmetic progression. They identify the first term, common difference, and number of terms, then apply the formulas Sₙ = n/2 [2a + (n−1)d] and Sₙ = n/2(a + l) when the last term is known. Examples help learners solve numerical problems, verify results, and understand the pattern behind sums in an AP.
Expert · Level 4 · 25 questions
TOPIC PRACTICE
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The sum is (S_n=n(103-3n)), and the maximum (901) occurs at (n=17). Exam tip: check integer values near the vertex.योग (S_n=n(103-3n)) है और (n=17) पर अधिकतम (901) मिलता है। परीक्षा में शीर्ष के पास वाले पूर्णांक जांचें।
The total sum is (11325), and the sum of multiples of (6) is (1875), so the answer is (9450). Exam tip: subtract the complementary sum.कुल योग (11325) है और (6) के गुणजों का योग (1875) है इसलिए उत्तर (9450) है। परीक्षा में पूरक योग घटाना आसान होता है।
For an AP, the sum of the first \(n\) terms is \(S_n=\frac{n}{2}(a+t_n)\). Thus, \(777=\frac{14}{2}(a+96)=7(a+96)\). Hence \(a+96=111\), so \(a=15\). If \(17\) were used, the sum would be \(7(17+96)=791\), not the given sum. Exam tip: when \(S_n\) and \(t_n\) are given, use \(S_n=\frac{n}{2}(a+t_n)\) directly.समान्तर श्रेणी के प्रथम \(n\) पदों का योग \(S_n=\frac{n}{2}(a+t_n)\) होता है। अतः \(777=\frac{14}{2}(a+96)=7(a+96)\)। इसलिए \(a+96=111\), जिससे \(a=15\) प्राप्त होता है। \(17\) लेने पर योग \(7(17+96)=791\) होगा, जो दिया गया योग नहीं है। परीक्षा टिप: जब \(S_n\) और \(t_n\) दिए हों, तो सीधे \(S_n=\frac{n}{2}(a+t_n)\) का प्रयोग करें।
In an AP, the average of the first and last terms is \(\frac{a+l}{2}\). Multiplying this by the number of terms \(n\) gives \(S_n=\frac{n}{2}(a+l)\). Option B is only the average, not the sum. In exams, use this form when \(l\) is given.समान्तर श्रेणी में प्रथम और अंतिम पद का औसत \(\frac{a+l}{2}\) होता है। इसे पदों की संख्या \(n\) से गुणा करने पर \(S_n=\frac{n}{2}(a+l)\) मिलता है। विकल्प B केवल औसत है, योग नहीं। परीक्षा में \(l\) दिया हो तो यही सूत्र चुनें।
This is the AP (45,42,39,\ldots), and (S_{12}=6[90+11(-3)]=342). Exam tip: treat the decrease as a negative common difference.यह (45,42,39,\ldots) श्रेणी है और (S_{12}=6[90+11(-3)]=342)। परीक्षा में कमी को ऋणात्मक सार्व अंतर मानें।
Putting the ratio in the sum formula gives (d=5). Exam tip: cross-multiply the ratio to form an equation.अनुपात को योग सूत्र में रखने पर (d=5) मिलता है। परीक्षा में अनुपात को क्रॉस गुणा करके समीकरण बनाएं।
The equation (\frac{n}{2}[4+6(n-1)]=12[2+6(n-1)]) gives (n=23). Exam tip: write (S_n) and (t_n) separately.समीकरण (\frac{n}{2}[4+6(n-1)]=12[2+6(n-1)]) से (n=23) है। परीक्षा में (S_n) और (t_n) दोनों अलग लिखें।
The numbers are (12,17,\ldots,97), and there are (18) terms. Exam tip: choose the first term of the remainder AP correctly.संख्याएँ (12,17,\ldots,97) हैं और कुल (18) पद हैं। परीक्षा में शेष वाली समान्तर श्रेणी का पहला पद सही चुनें।
The difference of the two equal block sums is (144d), so (d=\frac{768}{144}=\frac{16}{3}). Exam tip: recheck block-sum formulas carefully.दो बराबर खंडों के योगों का अंतर (144d) है इसलिए (d=\frac{768}{144}=5\frac{1}{3}) नहीं बनता अतः सही संतुलित गणना से (d=\frac{16}{3}) है। परीक्षा में खंड सूत्र दोबारा जांचें।
(t_6=50) and (t_{25}=126), so the sum is (\frac{20}{2}(50+126)=1760). Exam tip: count the selected terms correctly.(t_6=50) और (t_{25}=126) हैं इसलिए योग (\frac{20}{2}(50+126)=1760) है। परीक्षा में चुने गए पदों की संख्या सही गिनें।
The direct answer is A, 6. The given expression is S_n=9n-3n^2, where n is a positive integer because it counts terms. Calculate successive values: S_1=9(1)-3(1)^2=6; S_2=18-12=6; S_3=27-27=0; S_4=36-48=-12. After this the negative quadratic term makes the values smaller. Another way is to complete the square: S_n=-3n^2+9n=-3(n-3/2)^2+27/4. The real-valued peak is near n=1.5, so among positive integers n=1 and n=2 give the largest integer value, 6. Option A is correct. Option B, 9, is not the value of S_1 or S_2; it is also below neither? Actually the formula gives no 9 for a positive integer n. Option C, 12, is not obtained; S_2 is 6 and S_3 is 0. Option D, 15, is likewise impossible and ignores the negative quadratic term. A common mistake is to use the continuous maximum 27/4 as the answer, but n must be an integer. Memory cue: for a negative quadratic, check nearby integer values around its vertex.सीधा उत्तर A, 6 है। यहाँ S_n=9n-3n^2 है और n धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए, क्योंकि n पदों की संख्या बताता है। क्रम से जाँचें: S_1=9(1)-3(1)^2=6; S_2=18-12=6; S_3=27-27=0; S_4=36-48=-12। इसके बाद ऋणात्मक 3n^2 वाला भाग बढ़ता जाता है, इसलिए योग और छोटा होता जाता है। दूसरे तरीके से S_n=-3n^2+9n=-3(n-3/2)^2+27/4 लिखा जा सकता है। इसका वास्तविक चरम n=1.5 के पास है; निकटतम धनात्मक पूर्णांक n=1 और n=2 हैं, और दोनों पर अधिकतम पूर्णांक मान 6 मिलता है। A सही है। B यानी 9 किसी धनात्मक पूर्णांक n पर इस सूत्र से नहीं मिलता। C यानी 12 भी नहीं मिलता; n=2 पर योग केवल 6 और n=3 पर 0 है। D यानी 15 भी असंभव है और ऋणात्मक वर्ग पद के प्रभाव को अनदेखा करता है। सावधानी: 27/4 को उत्तर न चुनें, क्योंकि n पूर्णांक होना चाहिए। याद रखें: ऋणात्मक द्विघात में शीर्ष के आसपास के निकटतम पूर्णांक मान जाँचें।
For an AP with an odd number of terms, the sum is the product of the number of terms and the middle term. Exam tip: remember the middle-term property.विषम पदों वाली समान्तर श्रेणी में योग पदों की संख्या और मध्य पद का गुणनफल होता है। परीक्षा में मध्य पद की संपत्ति याद रखें।
Using \(S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)\), and since \(n>0\) and \(S_n=0\), we get \(a_1+a_n=0\). Hence, \(a_n=-a_1\). Neither \(d=0\) nor an even \(n\) is necessary. Exam tip: for a zero sum, check whether the first and last terms are opposites.\(S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)\) है। चूँकि \(n>0\) और \(S_n=0\), इसलिए \(a_1+a_n=0\), अर्थात \(a_n=-a_1\)। \(d=0\) या \(n\) का सम होना आवश्यक नहीं है। परीक्षा टिप: शून्य योग में प्रथम और अंतिम पदों का योग जाँचें।
The numbers are (12,24,\ldots,120), and there are (10) terms. Exam tip: divisible by both means use the least common multiple.ऐसी संख्याएँ (12,24,\ldots,120) हैं और कुल (10) पद हैं। परीक्षा में दोनों से विभाज्य का अर्थ लघुत्तम समापवर्त्य लें।
Substituting (n=14) in (S_n=\frac{n}{2}[32+7(n-1)]) gives (1085). Exam tip: options can be checked quickly too.(S_n=\frac{n}{2}[32+7(n-1)]) में (n=14) रखने पर (1085) मिलता है। परीक्षा में विकल्पों से त्वरित जांच भी कर सकते हैं।
The equation gives (d=\frac{18}{n+1}), so no fixed value is determined. Exam tip: check whether a variable remains in the relation.समीकरण से (d=\frac{18}{n+1}) मिलता है इसलिए एक निश्चित मान नहीं निकलता। परीक्षा में संबंध में बचा हुआ चर देखें।
In (11) terms, the (6)th term is the middle term, so (t_6=\frac{385}{11}=35). Exam tip: use the middle term for an odd number of terms.(11) पदों में (6)वाँ पद मध्य पद है इसलिए (t_6=\frac{385}{11}=35)। परीक्षा में विषम पदों की श्रेणी में मध्य पद का उपयोग करें।
Solving the two sum equations gives (a=-2) and (d=4). Exam tip: find (a) and (d) together from two sums.दोनों योगों के समीकरण हल करने पर (a=-2) और (d=4) मिलता है। परीक्षा में दो योगों से (a) और (d) साथ-साथ निकालें।
The sum of the first \(n\) terms of an AP is \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\). Here, \(a=15\), \(d=6\), and \(n=28\). Thus, \(S_{28}=\frac{28}{2}[2(15)+27(6)]=14(30+162)=14\times192=2688\). Therefore, option C is correct. Using \(28\) instead of \(27\) would be incorrect because the common difference is added only \(n-1\) times. Exam tip: write \(n-1\) separately before substituting values in the formula.समान्तर श्रेणी के प्रथम \(n\) पदों का योग \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) होता है। यहाँ \(a=15\), \(d=6\) और \(n=28\) हैं। अतः \(S_{28}=\frac{28}{2}[2(15)+27(6)]=14(30+162)=14\times192=2688\)। इसलिए सही विकल्प C है। \(27\) के स्थान पर \(28\) लेना गलती होगी, क्योंकि अंतर केवल \(n-1\) बार जुड़ता है। परीक्षा टिप: सूत्र में मान रखने से पहले \(n-1\) अलग से लिखकर जाँच लें।
The sum of the first n terms of an AP is \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\). Substituting the values gives \(1125=\frac{n}{2}[40+5(n-1)]\), so \(n(n+7)=450\). Hence, \(n=18\). Although \(n=-25\) is another algebraic root, the number of terms cannot be negative. Exam tip: for AP sum questions, select only a positive integral value of n.समान्तर श्रेणी के पहले n पदों का योग
\(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) होता है। यहाँ \(1125=\frac{n}{2}[40+5(n-1)]\), अतः \(n(n+7)=450\)। इसलिए \(n=18\) मिलता है। \(n=-25\) भी समीकरण का मूल है, पर पदों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती। परीक्षा टिप: योग वाले प्रश्नों में प्राप्त मूलों में केवल धनात्मक पूर्णांक n चुनें।
(S_{24}=\frac{24}{2}[144+23(-4)]=624). Exam tip: handle the negative common difference carefully.(S_{24}=\frac{24}{2}[144+23(-4)]=624) है। परीक्षा में ऋणात्मक सार्व अंतर का चिन्ह सावधानी से रखें।
For an AP, \(a_6=a+5d=29\) and \(a_{19}=a+18d=94\). Subtracting gives \(13d=65\), so \(d=5\). Hence, \(a=29-5\times5=4\). Now, \(S_{19}=\frac{19}{2}[2a+18d]=\frac{19}{2}[8+90]=931\). Therefore, \(931\) is correct. A value such as \(950\) can result from using an incorrect first term or number of terms. Exam tip: find \(a\) and \(d\) from the given terms before applying the sum formula.समान्तर श्रेणी में \(a_6=a+5d=29\) और \(a_{19}=a+18d=94\) है। दोनों समीकरणों को घटाने पर \(13d=65\), अतः \(d=5\) मिलता है। इसलिए \(a=29-5\times5=4\)। अब \(S_{19}=\frac{19}{2}[2a+18d]=\frac{19}{2}[8+90]=931\)। अतः सही उत्तर \(931\) है। \(950\) जैसे विकल्प प्रायः प्रथम पद या पदों की संख्या गलत लेने से आते हैं। परीक्षा टिप: पहले दो दिए गए पदों से \(d\) और \(a\) निकालें, फिर योग का सूत्र लगाएँ।
Answer: C, 205. To obtain an individual term from a partial-sum formula, use a_n = S_n − S_{n−1}. The first n terms include the first n−1 terms plus the nth term, so subtraction leaves exactly a_n. Compute S_18 = 6(18²) − 5(18) = 6×324 − 90 = 1944 − 90 = 1854. Compute S_17 = 6(17²) − 5(17) = 6×289 − 85 = 1734 − 85 = 1649. Hence a_18 = 1854 − 1649 = 205, so option C is correct. Option A, B, and D do not satisfy the consecutive-partial-sum calculation. The minus sign in −5n must remain attached to the linear term; changing it to plus would change every value. Also, S_18 itself is a total, not the 18th term. Memory cue: subtract the previous cumulative total before interpreting the result as one term.उत्तर: C, 205। आंशिक योग के सूत्र से किसी एक पद को निकालने के लिए a_n = S_n − S_{n−1} का प्रयोग करते हैं। पहले n पदों के योग में पहले n−1 पदों का योग और nवाँ पद शामिल होता है, इसलिए घटाने पर केवल nवाँ पद बचता है। S_18 = 6(18²) − 5(18) = 6×324 − 90 = 1944 − 90 = 1854। इसी प्रकार S_17 = 6(17²) − 5(17) = 6×289 − 85 = 1734 − 85 = 1649। इसलिए a_18 = 1854 − 1649 = 205 और विकल्प C सही है। विकल्प A, B और D लगातार आंशिक योगों के इस अंतर से प्राप्त नहीं होते। −5n में ऋण चिह्न को सही रखना बहुत आवश्यक है; उसे +5n कर देने पर परिणाम बदल जाएगा। S_18 को सीधे 18वाँ पद मानना भी गलत है, क्योंकि वह कुल योग है।
The sum of the first n terms of an AP is \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\). Here, \(824=\frac{16}{2}[2(14)+15d]=8(28+15d)\). Thus, \(28+15d=103\), so \(15d=75\) and \(d=5\). If 4 were used, the sum would be 704, not 824. Exam tip: substitute the given \(a\), \(n\), and \(S_n\) directly into the sum formula to find \(d\).समान्तर श्रेणी के पहले n पदों का योग होता है: \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\)। यहाँ \(824=\frac{16}{2}[2(14)+15d]=8(28+15d)\)। अतः \(28+15d=103\), इसलिए \(15d=75\) और \(d=5\)। विकल्प 4 लेने पर योग 704 आता है, 824 नहीं। परीक्षा टिप: दिए गए \(a\), \(n\) और \(S_n\) को सीधे योग के सूत्र में रखकर \(d\) ज्ञात करें।
From (2208=\frac{n}{2}(8+176)), (n=24). Exam tip: use the (a+l) form when first and last terms are known.(2208=\frac{n}{2}(8+176)) से (n=24) है। परीक्षा में प्रथम और अंतिम पद हों तो (a+l) वाला सूत्र लगाएं।
