In an AP, a₇ = 38 and a₁₉ = 122. If a₍₇ᵣ₎ = 206, what is r?एक समान्तर श्रेणी में a₇ = 38 और a₁₉ = 122 हैं। यदि a₍₇ᵣ₎ = 206 है, तो r क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 31/731/7
Use the AP relation between term differences and index differences. Since a₁₉ − a₇ = 122 − 38 = 84 and 19 − 7 = 12, we have 12d = 84, giving d = 7. The index of the required term is 7r, so its distance from the seventh term is 7r − 7. Therefore 206 = 38 + (7r − 7) × 7. Simplifying, 168 = 49r − 49, so 217 = 49r and r = 217/49 = 31/7. Hence option C is correct. Verification is direct: when r = 31/7, the index 7r equals 31, and a₃₁ = 38 + (31 − 7) × 7 = 38 + 168 = 206. The integer distractors give different indices and do not satisfy the condition.समान्तर श्रेणी में दो पदों का अंतर उनके सूचकांकों के अंतर और सार्व अंतर के गुणनफल के बराबर होता है। यहाँ a₁₉ − a₇ = 122 − 38 = 84 तथा 19 − 7 = 12 है। इसलिए 12d = 84 और d = 7 प्राप्त होता है। अब वांछित पद का सूचकांक 7r है, इसलिए सातवें पद से उसका सूचकांकीय अंतर 7r − 7 होगा। अतः 206 = 38 + (7r − 7) × 7। सरल करने पर 168 = 49r − 49, इसलिए 217 = 49r और r = 217/49 = 31/7। अतः विकल्प C सही है। जाँच में r = 31/7 रखने पर 7r = 31 तथा a₃₁ = 38 + (31 − 7) × 7 = 206 मिलता है। 4, 5 और 7 रखने पर प्राप्त सूचकांक इस शर्त को संतुष्ट नहीं करते।
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