In an AP, a₁₂ = 75 and a₃₆ = 219. What is a₂₄?एक समान्तर श्रेणी में a₁₂ = 75 और a₃₆ = 219 है। a₂₄ का मान क्या होगा?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 147147
In an arithmetic progression, terms whose indices are equally spaced have the middle term equal to the arithmetic mean of the two outer terms. The indices 12, 24, and 36 are equally spaced because 24 − 12 = 12 and 36 − 24 = 12. Hence 2a₂₄ = a₁₂ + a₃₆. Substituting the given values gives 2a₂₄ = 75 + 219 = 294, so a₂₄ = 294/2 = 147. Therefore option B is correct. This can also be checked using the common difference: 24 index steps separate a₁₂ and a₃₆, so d = (219 − 75)/(36 − 12) = 144/24 = 6; then a₂₄ = 75 + (24 − 12) × 6 = 147. The other options are not the required midpoint.समान्तर श्रेणी का मुख्य गुण यह है कि समान दूरी वाले सूचकांकों के बीच का पद बाहरी दोनों पदों का अंकगणितीय माध्य होता है। यहाँ 12, 24 और 36 सूचकांक समान अंतर पर हैं, क्योंकि 24 − 12 = 12 तथा 36 − 24 = 12। इसलिए 2a₂₄ = a₁₂ + a₃₆। दिए गए मान रखने पर 2a₂₄ = 75 + 219 = 294, अतः a₂₄ = 294/2 = 147। इसलिए विकल्प B सही है। सार्व अंतर से भी पुष्टि होती है: d = (219 − 75)/(36 − 12) = 144/24 = 6, और a₂₄ = 75 + (24 − 12) × 6 = 147। विकल्प A, C और D, 75 तथा 219 के सही मध्य औसत नहीं हैं, इसलिए वे इस प्रश्न का उत्तर नहीं हो सकते।
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