If a₁ = 8, d = 9, and a₍₃ₙ₊₂₎ = 197, what is the value of n?यदि a₁ = 8, d = 9 और a₍₃ₙ₊₂₎ = 197 है, तो n का मान क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 20/320/3
Answer: 20/3, so option A is correct. The kth term of an arithmetic progression is a_k = a₁ + (k - 1)d. Here the index is k = 3n + 2, the first term is 8, and the common difference is 9. Substitute these values: 197 = 8 + [(3n + 2) - 1]9 = 8 + (3n + 1)9. Expanding gives 197 = 8 + 27n + 9 = 17 + 27n. Therefore 27n = 180, and n = 180/27 = 20/3. Option B, n=7, would make the index 23 and the term 8 + 22(9) = 206. Option C gives index 26 and term 233, while option D gives index 29 and term 260. None equals 197. The important point is subtracting 1 from the index because the first term requires zero jumps; this is a frequent AP error.उत्तर: 20/3, इसलिए विकल्प A सही है। अंकगणितीय श्रेणी के kवें पद का सूत्र a_k = a₁ + (k - 1)d होता है। यहाँ k = 3n + 2, a₁ = 8, d = 9 और a_k = 197 है। अतः 197 = 8 + [(3n + 2) - 1]×9 = 8 + (3n + 1)×9। विस्तार करने पर 197 = 8 + 27n + 9 = 17 + 27n। इसलिए 27n = 180 और n = 180/27 = 20/3। यदि n = 7 हो, तो सूचकांक 23 और पद 8 + 22×9 = 206 होगा। n = 8 पर पद 233 और n = 9 पर पद 260 मिलेगा। ये 197 के बराबर नहीं हैं। यहाँ सूचकांक में से 1 घटाना बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि प्रथम पद तक पहुँचने के लिए कोई अंतर नहीं लेना पड़ता। AP के प्रश्नों में यही सबसे सामान्य भूलों में से एक है।
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