In an AP, a₁₀ = 54 and a₃₄ = 174. What is a₂₂?एक समान्तर श्रेणी में a₁₀ = 54 और a₃₄ = 174 है। a₂₂ का मान क्या होगा?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 114114
In an arithmetic progression, the term whose index is halfway between two equally spaced indices is the arithmetic mean of the corresponding terms. Since 22 − 10 = 12 and 34 − 22 = 12, the 22nd term lies exactly midway between the 10th and 34th terms. Hence a₂₂ = (a₁₀ + a₃₄)/2 = (54 + 174)/2 = 228/2 = 114. Therefore option B is correct. Algebraically, if aₙ = a + (n − 1)d, then a₁₀ = a + 9d and a₃₄ = a + 33d. Their average is a + 21d, which is exactly a₂₂. This confirms the midpoint method. Options A, C, and D do not equal the required average and therefore cannot be correct.समान्तर श्रेणी में यदि दो पदों के क्रमांक से समान दूरी पर कोई मध्य क्रमांक हो, तो उस मध्य पद का मान बाहरी दोनों पदों के अंकगणितीय माध्य के बराबर होता है। यहाँ 22 − 10 = 12 और 34 − 22 = 12, इसलिए 22वाँ पद 10वें और 34वें पद के ठीक मध्य में है। अतः a₂₂ = (a₁₀ + a₃₄)/2 = (54 + 174)/2 = 228/2 = 114। इसलिए विकल्प B सही है। सूत्र द्वारा भी जाँच करें: a₁₀ = a₁ + 9d और a₃₄ = a₁ + 33d; इनका औसत a₁ + 21d होता है, जो a₂₂ के बराबर है। इस प्रकार उत्तर की पुष्टि होती है। 110, 118 और 122 दिए गए दोनों पदों का सही मध्य औसत नहीं हैं, इसलिए वे गलत विकल्प हैं।
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