In an AP, a₉ = 46 and a₂₇ = 154. What is a₁₈?एक समान्तर श्रेणी में a₉ = 46 और a₂₇ = 154 है। a₁₈ का मान क्या होगा?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 100100
A key property of an arithmetic progression is that terms with equally spaced indices have the middle term equal to the arithmetic mean of the outer terms. Here 18 − 9 = 9 and 27 − 18 = 9, so the 18th term is exactly midway between the 9th and 27th terms. Therefore a₁₈ = (a₉ + a₂₇)/2 = (46 + 154)/2 = 200/2 = 100. Hence option B is correct. The result can also be verified by finding the common difference: a₂₇ − a₉ = 18d, so 154 − 46 = 108 and d = 6. Moving nine steps from a₉ gives a₁₈ = 46 + 9(6) = 100. The other options do not satisfy the midpoint relation and cannot be the required term.समान्तर श्रेणी का महत्वपूर्ण गुण है कि समान दूरी पर स्थित दो पदों के ठीक मध्य का पद उन दोनों का अंकगणितीय माध्य होता है। यहाँ 18 − 9 = 9 और 27 − 18 = 9, इसलिए 18वाँ पद 9वें और 27वें पद के ठीक बीच है। अतः a₁₈ = (a₉ + a₂₇)/2 = (46 + 154)/2 = 200/2 = 100। इसलिए विकल्प B सही है। इसे सार्व अंतर से भी जाँचा जा सकता है। a₂₇ − a₉ = 18d होने पर 154 − 46 = 108, इसलिए d = 6 मिलता है। अब 9वें पद से 18वें पद तक 9 चरण हैं, इसलिए a₁₈ = 46 + 9 × 6 = 100। 96, 104 और 108 दिए गए बाहरी पदों के सही मध्य औसत नहीं हैं, इसलिए वे उपयुक्त उत्तर नहीं हो सकते।
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